如何实现矩阵的重采样问题

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前言

记录知乎的自问自答。

一、问题描述

我的问题是这样的，有两个列向量E和F，需要注意的是，E和F是连续的，可任意插值，得到包含其中的子向量。E和F通过一个m×n的矩阵联系起来，如下：$$M_{m\times n}\times E_{n\times 1}=F_{m\times 1}$$现在，我通过线性插值的方式，得到了E和F的子向量，它们长度分别为v和u，那么请问，我该如何求得矩阵M’，使得：$$M_{u\times v}^{\prime }\times E_{v\times 1}=F_{u\times 1}$$

二、回答

可能是我表述不明白？或者这个问题比较简单？思考了两天，找到了在一定假设下能够实现我需求的方法，这里记录一下。

对于这种要采样的矩阵来说，最麻烦的是，每行的采样方式，因为这是一个相乘再求和的过程，在这个基础上，对结果进行插值，再求矩阵，不可避免地会产生问题。好在我这里的实际问题能够在有效的假设下，规避这个问题。

既然说，E和F都是连续的，不妨设存在函数E(x)和F(x)来描述这两个向量。我们从简单的地方出发，看看会遇到什么问题，先在行方向上采用，再处理列方向的采样。

首先，我们来计算F的第一行， $F_1=M_{1,1}\times E_1+M_{1,2}\times E_2+...+M_{1,n}\times E_n={\sum }_{j=1}^n{M}_{1,j}\times E_j$。既然E和F都是连续的，那么不难推断，M应当也是连续的，可任意插值，不妨在第一行上，我们用m(x)表示。那么刚才的式子就可以写成$F_1={\int }_1^{n}m\left(x\right)E\left(x\right)dx$。

现在，我们期望的是，从E(x)中任意抽出的序列$E_{v\times 1}$，都能找到对应的m(x)的序列$M_{1\times v}^{\prime }$，继续满足$F_1={\sum }_{j=1}^v{M}_{1,j}^{\prime }\times E_j$。你可能想用拟合的方法求得m(x)，但不幸的是，m(x)并没有你想的平缓，拟合容易出问题，而且我的问题对数值比较敏感，M矩阵的量级在$10^{-5}$，贸然拟合恐怕会有比较大的偏差。那么，我们就没法得知 $M_{1\times v}^{\prime }$了吗？

我们把视野再缩小一点，看看$E_{v\times 1}$中的某个 $E_i$，如何通过插值获得其对应的$M_{1,i}^{\prime }$呢？不失一般性地，我们找到$M_{1,i}^{\prime }$在原始矩阵中临近的两个值m(a)，m(b)和它们对应的E(a)，E(b)。我们希望的是，${\int }_a^{b}m\left(x\right)E\left(x\right)dx=m^{\prime }\left(i\right)\times E\left(i\right)$，这时，我们重要的假设就要登场了。

好在，我们的M采样足够高，在一个a-b的区间内，可以合理假设E是不变的，上面的式子就变成了${\int }_a^{b}m\left(x\right)dx=m^{\prime }\left(i\right)$，转换回离散的，就是$\left(m\left(a\right)+m\left(b\right)\right)\times \left(b-a\right)\times 0.5=m^{\prime }\left(i\right)$。至此，通过合理的假设，完成了M’在行方向上的采样。

那么继续，在列方向上的采样就简单得多了，直接线性插值即可，因为矩阵的每一行之间没有计算。

解决这个问题稍显兴奋，写得有些啰里吧嗦，感谢您能浪费时间在这个问题上。