雷达通信一体化波形设计常见优化指标及约束条件

参考的主要是刘凡大佬等人一系列的文章。

MUI干扰

多用户干扰指的是发射机给不同的用户发送不同的信息，发出去的信号是多个用户信息的叠加，我们希望每个用户只接受到自己的信息，所以我们会对发送信息S作一个类似预编码的处理，变成X，而我们对CSI已知，所以如下所示，
$$\mathbf{Y}=\mathbf{S}+\underset{\text{MUI }}{(\mathbf{H}\mathbf{X}-\mathbf{S})}+\mathbf{W},$$
$$\begin{array}{rl}& \underset{\mathbf{X}}{\min }\Vert \mathbf{H}\mathbf{X}-\mathbf{S}{\Vert }_F^2\end{array}$$

雷达信噪比

雷达系统和通信系统的一个区别就是雷达杂波，一般雷达把不感兴趣的目标都认为是杂波，需要抑制，而通信对所有环境杂波都感兴趣，这也是我觉得雷达通信相互有些冲突的地方，如何把雷达探测和通信的信道估计结合，相互促进性能是一个可以解决的问题，就这点我感觉OTFS波形会比较好。
回到这里，我们假设雷达感兴趣的目标是位于${\theta }_0$处的位置，那么其他方向的都是杂波，这里又应用了一个先验知识，就是雷达知道目标所在位置，这些约束都还挺强的。
$$\mathbf{q}={\alpha }_0\mathbf{A}\left({\theta }_0\right)\mathbf{x}+\sum _{k=1}^K{\alpha }_k\mathbf{A}\left({\theta }_k\right)\mathbf{x}+\mathbf{u}$$
其中 $\mathbf{A}(\theta )$ 是发射天线和接收天线的导向矢量。
$$\mathbf{A}(\theta )={\mathbf{I}}_N\otimes \left[{\mathbf{a}}_r(\theta ){\mathbf{a}}_t^T(\theta )\right]$$
同时可以将MIMO雷达处理技术结合进来，比如接收天线处再加个滤波器系数来实现噪声、干扰和干扰抑制，同时保持所需信号不失真 。
以下的文章这样做过，
Joint Transmit Waveform and Receive Filter Design for Dual-Function Radar-Communication Systems
$$\begin{array}{rl}c& ={\mathbf{w}}^H\mathbf{q}\\ & ={\alpha }_0{\mathbf{w}}^H\mathbf{A}\left({\theta }_0\right)\mathbf{x}+{\mathbf{w}}^H\sum _{k=1}^K{\alpha }_k\mathbf{A}\left({\theta }_k\right)\mathbf{x}+{\mathbf{w}}^H\mathbf{u}\end{array}$$
输出信噪比如下
$$\gamma (\mathbf{x},\mathbf{w})=\frac{{\sigma }_0^2{\left|{\mathbf{w}}^H\mathbf{A}\left({\theta }_0\right)\mathbf{x}\right|}^2}{{\mathbf{w}}^H\left[{\sum }_{k=1}^K{\sigma }_k^2\mathbf{A}\left({\theta }_k\right)\mathbf{x}{\mathbf{x}}^H{\mathbf{A}}^H\left({\theta }_k\right)\right]\mathbf{w}+{\sigma }_u^2{\mathbf{w}}^H\mathbf{w}}$$

刘凡还有一个不同的优化式子，直接去设杂波目标离感兴趣目标间隔P个距离门，
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{Y}}_R& ={\alpha }_0\mathbf{a}\left({\theta }_0\right){\mathbf{a}}^H\left({\theta }_0\right)\mathbf{X}\\ & +\sum _{p=-P,p\ne 0}^P\sum _{m=1}^M{\alpha }_{p,m}\mathbf{a}\left({\theta }_m\right){\mathbf{a}}^H\left({\theta }_m\right)\mathbf{X}{\mathbf{J}}_p+{\mathbf{W}}_R,\end{array}$$
$${\mathbf{J}}_p=\left[\begin{array}{cccc}\underset{\text{p zeros }}{0\dots 0}& 1& \dots & 0\\ 0\dots 0& 0& \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& 1\\ 0\dots 0& 0& \dots & 0\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{L\times L}$$
只能说J这个矩阵的设计确实很秒，喵喵喵。
之后就是雷达中的匹配滤波处理
$$\begin{array}{rl}\mathbf{D}& =\frac{1}{L}{\mathbf{Y}}_R{\mathbf{X}}^H=\frac{1}{L}{\alpha }_0\mathbf{a}\left({\theta }_0\right){\mathbf{a}}^H\left({\theta }_0\right)\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H\\ & +\frac{1}{L}\sum _{p=-P,p\ne 0}^P\sum _{m=1}^M{\alpha }_{p,m}\mathbf{a}\left({\theta }_m\right){\mathbf{a}}^H\left({\theta }_m\right)\mathbf{X}{\mathbf{J}}_p{\mathbf{X}}^H+\frac{1}{L}{\mathbf{W}}_R{\mathbf{X}}^H,\end{array}$$
将问题直接转成下面这个，感觉一瞬间就降低优化式子的难度了。
$$P_{\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{L}}=\sum _{p=-P,p\ne 0}^P{\Vert {\mathbf{X}}_p{\mathbf{J}}_p{\mathbf{X}}^H\Vert }_F^2$$

天线导向矢量约束

雷达在执行不同的任务时需要的波束是不同的，比如搜索目标的时候，肯定是需要全向天线，在跟踪目标的时候是定向波束，保证目标一直在强波束照射下。所以采用定向的时候，雷达大致是知道目标方向的，这里很难处理的是，通信用户和雷达探测目标应该不会在同一个方向吧，那么雷达采用定向天线的话就很容易造成通信质量降低，这又是一个Trade-off的问题，能不能集成来提升性能呢？

MIMO天线发射信号为${\mathbf{a}}^{\ast }(\theta )\mathbf{X}$, 在$\theta$处的发射功率为$P(\theta )={\mathbf{a}}^{\ast }(\theta ){\mathbf{R}}_X\mathbf{a}(\theta )$.
$${\mathbf{R}}_X=\frac{1}{L}{\mathbf{X}\mathbf{X}}^H.$$

其中$\mathbf{a}(\theta )=$ ${\left[1,e^{j2\pi \Delta \sin (\theta )},\dots ,e^{j2\pi (N-1)\Delta \sin (\theta )}\right]}^T\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}.$

全向天线约束

$$\underset{\mathbf{X}}{\min }\Vert \mathbf{H}\mathbf{X}-\mathbf{S}{\Vert }_F^2$$
s.t. $\frac{1}{L}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H=\frac{P_T}{N}{\mathbf{I}}_N$,

这是可以直接解出来的，用奇异值分解加最小二乘。可惜我不是很明白，希望有知道的小伙伴能跟我讲一讲。
$$\mathbf{X}=\sqrt{\frac{L{P}_T}{N}}\mathbf{U}{\mathbf{I}}_{N\times L}{\mathbf{V}}^H$$
其中 $\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^H={\mathbf{H}}^H\mathbf{S}$ 是${\mathbf{H}}^H\mathbf{S}$ 的$\mathrm{S}\mathrm{V}\mathrm{D}$ 。

定向天线约束

定向类似于全向的方法，也是可以解出来的
$$\begin{array}{rl}& \underset{\mathbf{X}}{\min }\Vert \mathbf{H}\mathbf{X}-\mathbf{S}{\Vert }_F^2\\ & \text{ s.t. }\frac{1}{L}\mathbf{X}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H={\mathbf{R}}_d,\end{array}$$
where ${\mathbf{R}}_d$ is the desired Hermitian positive semidefinite covariance matrix. We consider its Cholesky decomposition, which is
$${\mathbf{R}}_d=\mathbf{F}{\mathbf{F}}^H$$
$$\mathbf{X}=\sqrt{L}\mathbf{F}\tilde{\mathbf{U}}{\mathbf{I}}_{N\times L}{\tilde{\mathbf{V}}}^H$$

相似性约束

由于天线波束方向约束的X可以直接解出来，而且采用X作为发射波形，其他的性能提高并不多，所以给X再添加一个约束。
$${\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\Vert }_2^2\left({\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\Vert }_{\infty }\right)\le ϵ$$
这个$X_0$就是波束约束解出来的，但这里同时也可以换成其他好的波形，那么具有抗多普勒的波形是否可以呢？

天线功率限制

天线发射的总功率肯定不是无限的，所以
$$\text{ s.t. }\frac{1}{L}\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F^2=P_T$$

恒模限制

不管是雷达发射机还是通信发射机，对PAPR的要求都很高，所以希望每一个时刻发射波形的功率恒定
$$\text{ s.t. }\left|x_n\right|=\sqrt{\frac{P_{\max }}{TN}},1\le n\le TN$$

结语

对于MIMO-OFDM雷达肯定还有一些其他的约束，而且以上优化都会存在先验知识很强，比如信道状态信息，雷达目标个数，虽然这些在目前通信处理和雷达处理中很容易解决，但能在发射波形上做一些优化吗？