matlab roots求根及其数学原理

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Problem

用Matlab软件包求解下列方程的全部实根：

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Methods

roots函数

• 使用方法: r = roots(p)
  以列向量的形式返回 p 表示的多项式的根。输入 p 是一个包含 n+1 多项式系数的向量，以 xⁿ 系数开头。0 系数表示方程中不存在的中间幂。例如：p = [3 2 -2] 代表多项式 。
  roots 函数对 格式的多项式方程求解。包含带有非负指数的单一变量的多项式方程。

算法原理

roots 函数将 p 视为一个具有 n+1 个元素的向量，代表 n×n 矩阵 A 的 n 次特征多项式。多项式的根通过计算伴随矩阵 A 的特征值得出。

A = diag(ones(n-1,1),-1);
A(1,:) = -p(2:n+1)./p(1);
r = eig(A)

数学原理

已知

1. 构造矩阵
   

2. 设 （x为该方程的解）
   

3. 下面我们以3项来说明方便理解：
   原式：
   
   
   
   

联立以上3个方程得：

结论

• 因此,只要解出λ（特征根）的值，就得到 的解。从而，我们把解方程的根转化成了特征根的求解。
• 只算3个容易理解，实际上n个也是同理的。
• 需要注意的是，不能为0

4.特征根的求解：
然后用线性代数的知识解出来即可。（利用余子式的性质）
可以求得n个λ，得到n个解（包括复数）