动态规划——最长递增子序列

前言

最长递增子序列是动态规划中最经典的问题之一，该问题描述的是在一个已知序列{A1，A2，...,An}中，取出若干元素（不必连续）组成一个新的序列{Ax，...，Ay}，子序列的各个数先后顺序保持不变，且对子序列中的任意下标x

思路

令dp[i]表示以A[i]作为末尾的最长递增子序列的长度。于是，通过设置这么一个数组，最长递增子序列的长度便是数组dp中的最大值。

由于dp[i]是以A[i]作为末尾的最长递增子序列的长度，因此只有两种情况：

①A[i]之前的元素都比A[i]大，即最长递增子序列只有A[i]本身，即dp[i]=1。

②A[i]之前的元素A[j]比A[i]小，此时只需将A[i]添加到A[j]作为末尾的最长递增子序列，便可构成新的一个递增子序列。即dp[i]=dp[j]+1。只需将i之前的元素逐一遍历，便可获得以A[i]作为末尾的最长递增子序列的长度dp[i]。

从这两种情况可以得到状态转移方程dp[i]=max{1,dp[j]+1 | j

 

题目1：拦截导弹

某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的高度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后面的导弹，再拦截前面的导弹。 

输入描述:

每组输入有两行，
第一行，输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25），
第二行，输入k个正整数，表示k枚导弹的高度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。

输出描述:

每组输出只有一行，包含一个整数，表示最多能拦截多少枚导弹。

示例1

输入

8
300 207 155 300 299 170 158 65

输出

6

分析

该题是求最长不增子序列，原理其实与求最长递增子序列一样的，不过状态转移方程发生一些变化而已，即dp[i]=max{1,dp[j]+1 | j=Ai }。

代码

#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=25;
int height[MAXN];//导弹高度
int dp[MAXN];
int longestIncreasingSeq(int n)
{
        int answer=0;
        for(int i=0;i>n)
    {
        for(int i=0;i>height[i];
        int answer=longestIncreasingSeq(n);
        cout<

 

题目2：最大上升子序列和

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ...,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中序列和最大为18，为子序列(1, 3, 5, 9)的和. 你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100, 1, 2, 3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1, 2, 3)。

输入描述:

输入包含多组测试数据。
每组测试数据由两行组成。第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000（可能重复）。

输出描述:

对于每组测试数据，输出其最大上升子序列和。

示例1

输入

7
1 7 3 5 9 4 8

输出

18

#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=1000;
int A[MAXN];
int dp[MAXN];

int MaxIncreasingSeq(int n)
{
    int maximum=0;
    for(int i=0;i>n)
    {
        for(int i=0;i>A[i];
        int answer=MaxIncreasingSeq(n);
        cout<

 

题目3：合唱队形

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学不交换位置就能排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K，他们的身高分别为T1, T2, …, TK， 则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K)。 你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入描述:

输入的第一行是一个整数N（2 <= N <= 100），表示同学的总数。
第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti（130 <= Ti <= 230）是第i位同学的身高（厘米）。

输出描述:

可能包括多组测试数据，对于每组数据，
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

示例1

输入

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出

4

思路

分别从前往后和从后往前寻找以i点为尾的最长递增子序列，再寻找这两个子序列和的最大值即可。

代码

#include
#include
/***
本题就是求最长合唱子序列的长度K，之后再用N-K即可得出最少出列同学数
***/
using namespace std;
const int MAXN=100;
int height[MAXN];
int dp[MAXN];//dp[i]为以i点末尾的最长合唱子序列的长度（从左往右）
int dp2[MAXN];//dp[i]也是以i点末尾的最长合唱子序列的长度（从右往左）
int MaxSingSeq(int n)
{
    int maximum=0;
    for(int i=0;i=0;i--)//从后往前寻找以i点为尾的最长递增子序列，
    {                      //注意，不要从前往后寻找最长递减子序列，那样是错的
        dp2[i]=1;
        for(int j=n-1;j>i;j--)
        {
            if(height[j]>n)
    {
        for(int i=0;i>height[i];
        int answer=MaxSingSeq(n);
        cout<