数学故事|数学历史上的三大危机

资料来源于公众号：万物皆数学

        数学故事|数学历史上的三大危机

      数学是人类探索科学之路的重要工具，往往数学研究比较发达的国家科技也会先进不少，这个在欧洲崛起的道路上已经得到了证实，但是大家有没有想过，作为一个科研工具，它一定是对的吗？今天就为大家介绍一下历史上著名的三次数学危机。

第一次数学危机——公元前470年无理数的出现

在公元前5世纪的古希腊，出现了一位伟大的数学家——毕达哥拉斯，毕达哥拉斯发现了著名的勾股定理定理，并证明了该定理，在那个时代，毕达哥拉斯就是数学界的权威，他组建了毕达哥拉斯学派，汇集了当时古希腊一流的数学人才。

毕达哥拉斯有一个观点，就是所有的数字都可以表示成整数或者整数之比，比如0.3333……可以表示为1/3。有一天毕达哥拉斯学派的一个学生希帕索斯发现，等腰直角三角形的斜边无法用整数来表示，于是告诉了毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯一开始没觉得有什么问题，猜想一定是这位学生算错了，结果自己算了算也发现了不能用整数表达的数，如果他不承认这个结果，就说明他发现的勾股定理是错的，毕达哥拉斯当然不能否定自己，于是煽动学派成员把希帕索斯扔进爱琴海淹死了。

但是数学就是这样，它不以人的意志为转移，处死希帕索斯并不能解决这个悖论，直到1872年，德国数学家戴德金才以有理数分割的理论结束了第一次数学危机，无理数正式纳入了数学体系当中，此时距离希帕索斯殉难已经过了2300多年了。

第二次数学危机——17~18世纪无穷小是什么

第二次数学危机萌芽于古希腊，最著名的描述是“芝诺的乌龟”，中国古书《庄子·天下篇》也有直白的描述：一尺之棰，日取其半，万世不竭。即把一根一尺长的木棍，每次截去一半，接着截取一半的一半，如此反复，虽然木棍在变短，但永远截不完。

无穷小是微积分理论的基石，如果不解决这个问题，那么微积分在理论上就是不完备的，那么很多基于微积分的理论就不能说是完全对的，那么包括牛顿力学体系在内的重要数学推论也就不能成立了。

自从第二次数学危机出现后，无数的数学家都在试图修补这个漏洞，但是这种体系性的漏洞是很难补全的，因此第二次数学危机一直持续到了19世纪70年代，在前人研究的基础上，数学家威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人建立了实数理论，才将这个问题解决。

不过，第二次数学危机也带来了很多好处，在解决这个问题的道路上，人类在数学、天文、物理等领域的发展突飞猛进，我们现在使用的很多技术都与这些相关，可以说，没有第二次数学危机，就没有现代社会。

第三次数学危机——1897年集合论中的悖论

1897年，数学家福尔蒂提出这样一个悖论：假如有这样一位理发师，他给自己定下了一个规矩：他只给不给自己刮胡子的人刮胡子，那么他应不应该给自己刮胡子呢？

如果他不给自己刮胡子，那么他就是不给自己刮胡子的人，他应该给自己刮胡子，而如果他给自己刮胡子了，他就是给自己刮胡子的人，那么他就不能给自己刮胡子。

虽然在我们看来，这个悖论就是吃饱了撑的，但问题在于，这个悖论是满足集合论的原理的，而且集合论现在已经深入到了数学的各个方面，如果这个悖论不解决，集合论就是有漏洞的。

遗憾的是，至今为止，第三次数学危机也没有得到完美的解决，1931年，数学家哥德尔提出了不完备定律，证明了数学本身在理论上就是不完备的，所以数学的发展远没有结束。

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