AcWing 284. 金字塔，《算法竞赛进阶指南》

284. 金字塔 - AcWing题库

虽然探索金字塔是极其老套的剧情，但是有一队探险家还是到了某金字塔脚下。

经过多年的研究，科学家对这座金字塔的内部结构已经有所了解。

首先，金字塔由若干房间组成，房间之间连有通道。

如果把房间看作节点，通道看作边的话，整个金字塔呈现一个有根树结构，节点的子树之间有序，金字塔有唯一的一个入口通向树根。

并且，每个房间的墙壁都涂有若干种颜色的一种。

探险队员打算进一步了解金字塔的结构，为此，他们使用了一种特殊设计的机器人。

这种机器人会从入口进入金字塔，之后对金字塔进行深度优先遍历。

机器人每进入一个房间（无论是第一次进入还是返回），都会记录这个房间的颜色。

最后，机器人会从入口退出金字塔。

显然，机器人会访问每个房间至少一次，并且穿越每条通道恰好两次（两个方向各一次）， 然后，机器人会得到一个颜色序列。

但是，探险队员发现这个颜色序列并不能唯一确定金字塔的结构。

现在他们想请你帮助他们计算，对于一个给定的颜色序列，有多少种可能的结构会得到这个序列。

因为结果可能会非常大，你只需要输出答案对109109 取模之后的值。

输入格式

输入仅一行，包含一个字符串 S，长度不超过 300，表示机器人得到的颜色序列。

输出格式

输出一个整数表示答案。

输入样例：

ABABABA

输出样例：

5

 解析：

DP的核心思想是用集合来表示一类方案，然后从集合的维度来考虑状态之间的递推关系。

观察题目所给的样例可以发现以下性质：

要满足是一棵树的dfs序列长度必须是奇数，且每一个能构成一棵树的dfs序列的区间，区间的第一个颜色和最后一个颜色必须相同。

根据以上这些性质来进行集合的划分，状态计算对应集合的划分，可以将集合划分成不重不漏的子集。

如何划分成不重不漏的子集是一个难点。

错误划法：也是开始我的想法：
f[l][r] 表示区间 s[l] 到区间 s[r] 之间有多少种树

f[l][r]+=f[l][k]+f[k+1][r]

上述划法有漏掉的情况：上述情况只考虑了二叉树，没有考虑多叉树，但如果仅考虑 f[l][r] 为多叉树的情况，过程中的枚举就会超过时间限制；

正确做法是：f[l][r] 既包含多叉树又包含二叉甚至一颗子树的情况

状态转移方程为：

f[l][r]+=f[l][k]*f[k+1][r-1]

其中，f[l][k] 表示左边的情况，这里不考虑左边有几棵子树，一棵，两棵，多棵，都可以

而右边只考虑一棵的情况，所以要求 s[k+1]==s[r-1],

不用担心左边会有情况漏掉，因为在枚举 k 的过程中会将左边区间处理过，所以这样是正确的

这里还有一些小细节：
如：len++ 改为 len+=2 等，具体看代码

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