[ABC273G] Row Column Sums 2

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引

好题呀

解法：

约定：为方便描述，将 “和为 $2$ 的行”简称为 $2$ 类行，和为 $1$ 的简称为 $1$ 类行,列同理。
题目中虽然指定了每行和每列的和 ,但其实我们只要求出 有对应 行数和列数的方案数即可

设计状态：

$$f_{i,j,k}:填了前i行，有j列为1类列，k列为2类列$$
考虑到前 $i$ 行一共要放 ${\sum }_{j=1}^i{R}_i$,记$su{m}_i={\sum }_{j=1}^i{R}_i$,那么明显若已知 $j$ , 则$k=\frac{su{m}_i-j}{2}$
就可以简化状态：
$$f_{i,j}:填了前i行，有j列为1类列，\frac{su{m}_i-j}{2}列为2类列$$

状态转移 ：

用三维的状态比较好理解转移，改成二维只需去掉 $k$ 即可
根据下一列的 $R_i$ 转移
$$\begin{array}{rl}& f_{i,j,k}\to f_{i+1,j,k}(R_{i+1}=0)\\ & f_{i,j,k}\ast (n-j-k)\to f_{i+1,j+1,k},f_{i,j,k}\ast j\to f_{i+1,j-1,k+1}(R_{i+1}=1)\\ & f_{i,j,k}\ast C_2^{n-j-k}\to f_{i+1,j+2,k},f_{i,j,k}\ast C_2^j\to f_{i+1,j-2,k+2},f_{i,j,k}\ast (n-j-k)\ast (j+1)\to f_{i,j,k+1}(R_{i+1}=2)\end{array}$$
注意限制条件，比如 $f_{i,j,k}\ast (n-j-k)\ast (j+1)\to f_{i,j,k+1}$ 这个转移必须要 $j+k<n$

最后，想想设的状态没有规定每列的和是题目指定的值，只是数量满足了，所以最后要除去排列数
注意代码实现要按之前说的省去第三维 $k$

Code

#include 
#include 
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define _rep(i,j,k) for(int i=k;i>=j;i--)
#define k ((sum[i]-j)/2)
using ll = long long ; 
using db = double ;
using namespace std;
const int N=5e3+7;
const ll mod=998244353,inv2=499122177;
int n,c1;
int R[N],C[N];
ll f[N][N],sum[N],fac[N],ifac[N],ss;
ll qpow(ll ba,ll pow) {
    ll res=1; while(pow) {
        if(pow&1) res=res*ba%mod;
        ba=ba*ba%mod,pow>>=1;
    } return res;
}
ll Add(ll x,ll y) { return ((x+y)%mod) ;}
ll Mul(ll x,ll y) { return ((x*y)%mod) ;}
ll Inv(ll x) { return qpow(x,mod-2) ;}
ll c(ll x,ll y) { return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod; }
void init() {
    scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n) scanf("%d",&R[i]),sum[i]=sum[i-1]+R[i];
    rep(j,1,n) scanf("%d",&C[j]),c1+=(C[j]==1),ss+=C[j];
    fac[0]=1; rep(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    ifac[n]=Inv(fac[n]); _rep(i,1,n) ifac[i-1]=ifac[i]*i%mod;
}
void work() {
    if(sum[n]!=ss) {puts("0");return ;}
    f[0][0]=1;
    rep(i,0,n) rep(j,0,n) if(sum[i]>=j && j+k<=n){
        if(R[i+1]==0) f[i+1][j]=Add(f[i+1][j],f[i][j]);
        else if(R[i+1]==1) {
            if(k+j1) f[i+1][j-2]=Add(f[i+1][j-2],Mul(f[i][j],j*(j-1)%mod*inv2%mod));
            if(k+j