因果推断——引子

辛普森悖论(Simpson's Paradox)

由英国统计学家E.H.Simpson于1951年提出：

在某个条件下的两组数据，分别讨论时均会满足某种性质，可一旦合并考虑则会导致相反结论的现象。

辛普森悖论实例

1. 法学院

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	8	45	53	15.1%
女生	51	101	152	33.6%
合计	59	146	205

2. 商学院

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	201	50	251	80.1%
女生	92	9	101	90.1%
合计	293	59	352

3. 汇总两个学院

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	209	95	304	68.8%
女生	143	110	253	56.5%
合计	352	205	557

能够看到由1 & 2 两个单独的汇总结果来看，女生的录取比例都会很高

但是综合两院数据，女生的录取比例反而比男生低。

这说明简单地将分组数据加总汇合是无法反映真实情况的。

辛普森悖论的两点思考

1. 分组差异过大

例如上例就能很好地展现这一点，法学院录取率很低二商学院较高，而同时两种性别的申请者比重又恰巧相反。因而从数量上来说，拒收率搞得法学院拒绝了大多数女生，而男生在法学院虽然有更高拒收率，但被拒收的数量相对总体并不多。

2. 潜在因素影响

我们猜想，在录取过程中，性别并非是录取率高低的唯一因素，甚至可能与其毫无关系，在学院中出现的比率差可能是随机事件。

影响录取情况的可能是“潜在因素” (通常被称为“混杂偏倚现象”)

下面用一个人工构建的例子来解释这种思考。

因果推断中的“混杂偏倚现象”

许多因果推断的教材中所考虑的辛普森悖论，实际上就是指悖论的第二点思考——潜在因素影响，因而混杂偏倚通常与Simpson’s Paradox(or Yule-Simpson Paradox)划等号。

合并表	康复	未康复	康复率
吃药	20	20	50%
安慰剂	16	24	40%

男性组	康复	未康复	康复率
吃药	18	12	60%
安慰剂	7	3	70%

女性组	康复	未康复	康复率
吃药	2	8	20%
安慰剂	9	21	30%

我们观察上面的一个高维列联表，能够发现整体人群中，吃药与康复之间存在正相关，而划分组别后男女两组又都呈现负相关的有趣现象。

我们将其抽象为数学语言则是：

和 边缘上正相关，但是给定另外一个变量 后，在 的每一个水平上， 和 可能负相关。

这种情况用因果图理论图示出来，

就是在因果推断教材中常听到的——有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)

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有向无环图的相关内容我们暂且不表