十天学完基础数据结构-第六天（树（Tree））

树的基本概念

树是一种层次性的数据结构，它由节点组成，这些节点按照层次关系相互连接。树具有以下基本概念：

• 根节点：树的顶部节点，没有父节点。

• 子节点：树中每个节点可以有零个或多个子节点。

• 叶节点：没有子节点的节点称为叶节点。

• 父节点：每个节点都可以有一个父节点，除了根节点。

• 深度：节点所在的层次称为深度。根节点的深度为0，其子节点深度为1，以此类推。

二叉树和二叉搜索树（BST）的定义

二叉树是一种特殊的树，其中每个节点最多有两个子节点：左子节点和右子节点。

**二叉搜索树（BST）**是一种二叉树，其中每个节点都遵循以下规则：

• 左子树中的所有节点的值小于当前节点的值。

• 右子树中的所有节点的值大于当前节点的值。

这种有序性使得二叉搜索树非常适合搜索和排序操作。

树的遍历方法

遍历树意味着按照一定顺序访问树中的节点。树的三种常见遍历方法如下：

• 前序遍历：首先访问根节点，然后按照左子树、右子树的顺序遍历。

• 中序遍历：首先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。中序遍历可以用于对BST进行排序。

• 后序遍历：首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。

下面是一个简单的C++示例，创建二叉树和进行中序遍历：

#include 

// 二叉树节点定义
struct TreeNode {
    int data;           // 节点数据
    TreeNode* left;     // 左子节点
    TreeNode* right;    // 右子节点
};

// 中序遍历函数
void inOrderTraversal(TreeNode* root) {
    if (root != nullptr) {
        inOrderTraversal(root->left);
        std::cout << root->data << " ";
        inOrderTraversal(root->right);
    }
}

int main() {
    // 创建二叉树
    TreeNode* root = new TreeNode{1, nullptr, nullptr};
    root->left = new TreeNode{2, nullptr, nullptr};
    root->right = new TreeNode{3, nullptr, nullptr};

    // 中序遍历
    inOrderTraversal(root);

    return 0;
}

运行结果：

练习题：

1. 二叉树和二叉搜索树有何不同？什么情况下你会选择使用二叉搜索树？

2. 解释中序遍历的概念。为什么中序遍历在二叉搜索树中非常有用？

3. 描述一种情况，其中树结构比线性数据结构（如数组或链表）更适合存储和组织数据。

4. 请编写一个C++程序，创建一个简单的二叉树，并执行中序遍历，以输出节点的值。

二叉树和二叉搜索树有何不同？什么情况下你会选择使用二叉搜索树？

• 不同之处：主要区别在于有序性。二叉树是一种树形结构，每个节点最多有两个子节点。而二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，具有有序性。在BST中，左子树中的所有节点的值小于当前节点的值，右子树中的所有节点的值大于当前节点的值。

• 选择BST的情况：你会选择使用BST的情况包括需要高效的搜索和排序操作时。BST的有序性使得搜索操作非常快速，平均时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。此外，BST还可以用于实现字典、数据库索引等需要快速查找和插入的应用。

解释中序遍历的概念。为什么中序遍历在二叉搜索树中非常有用？

• 中序遍历是一种树的遍历方式，其基本概念是按照左子树、根节点、右子树的顺序遍历树中的节点。在中序遍历中，首先遍历左子树中的所有节点，然后访问根节点，最后遍历右子树中的所有节点。

• 中序遍历在BST中的重要性：在BST中，中序遍历可以按照升序顺序访问树中的节点。这意味着通过中序遍历可以得到有序的节点序列。因此，中序遍历在BST中非常有用，可以用于实现对树的排序操作，也可以用于搜索操作，因为在有序序列中可以快速找到目标值。

描述一种情况，其中树结构比线性数据结构（如数组或链表）更适合存储和组织数据。

• 情况示例：组织文件系统。文件系统通常采用树形结构来组织文件和文件夹。每个文件夹可以包含文件和其他文件夹，这形成了一个树状结构，其中根节点代表顶级目录，叶节点代表文件。这种树形结构使得文件系统可以轻松实现文件的组织、搜索和访问。

注意：树结构在这种情况下更适合，因为它能够清晰地表示文件之间的层次关系和组织结构，而线性数据结构（如数组）通常不足以表示这种复杂性。

请编写一个C++程序，创建一个简单的二叉树，并执行中序遍历，以输出节点的值。

创建一个二叉树并进行中序遍历：

#include 

// 二叉树节点定义
struct TreeNode {
    int data;           // 节点数据
    TreeNode* left;     // 左子节点
    TreeNode* right;    // 右子节点
};

// 中序遍历函数
void inOrderTraversal(TreeNode* root) {
    if (root != nullptr) {
        inOrderTraversal(root->left);
        std::cout << root->data << " ";
        inOrderTraversal(root->right);
    }
}

int main() {
    // 创建二叉树
    TreeNode* root = new TreeNode{4, nullptr, nullptr};
    root->left = new TreeNode{2, nullptr, nullptr};
    root->right = new TreeNode{6, nullptr, nullptr};
    root->left->left = new TreeNode{1, nullptr, nullptr};
    root->left->right = new TreeNode{3, nullptr, nullptr};
    root->right->left = new TreeNode{5, nullptr, nullptr};
    root->right->right = new TreeNode{7, nullptr, nullptr};

    // 中序遍历
    inOrderTraversal(root);

    return 0;
}

运行结果：

这个程序创建了一个简单的二叉树，并使用中序遍历打印节点的值。