【洛谷 P1216】[USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles 题解（动态规划）

[USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，从 $7\to 3\to 8\to 7\to 5$ 的路径产生了最大权值。

输入格式

第一个行一个正整数 $r$ ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

样例 #1

样例输入 #1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出 #1

30

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1\le r\le 1000$，所有输入在 $[0,100]$ 范围内。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

IOI1994 Day1T1

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思路

，使用一个二维数组 a 存储数字三角形的值，使用一个二维数组 dp 存储从顶点到每个位置的最大路径和。

状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + a[i][j];

在初始化 dp 数组时，dp[0][0] 赋值为 0。

在每次状态转移时，判断上一行的相邻两个位置的最大值，加上当前位置的值，得到当前位置的最大路径和。

最后，遍历最后一行的所有位置，取最大值即可。

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AC代码

#include 
#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e3 + 5;

int r;
int ans;
int a[N][N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> r;
    for (int i = 1; i <= r; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j++)
        {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= r; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j++)
        {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + a[i][j];
        }
    }
    ans = 0;
    for (int j = 1; j <= r; j++)
    {
        // cout << dp[r][j] << endl;
        ans = max(ans, dp[r][j]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}