【DP】背包问题
一.概念
DP（Dynamic Programming）背包问题是一个经典的组合优化问题，通常用于解决如何在有限的背包容量下，选择一组物品装入背包以最大化某种价值（通常是总价值或总利润）的问题。这个问题有多个变种，解决DP背包问题的常见方法是使用动态规划算法，通常包括以下步骤：
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定义状态：确定问题的状态，通常包括背包的容量和可选的物品。
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状态转移方程：根据问题的性质，建立状态之间的转移关系，以描述如何根据之前的状态来更新当前状态。这是解决问题的核心部分。
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初始化：初始化动态规划表格或数组，通常将边界条件设置为0或者负无穷，以确保正确的状态更新。
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填充表格：按照状态转移方程，填充动态规划表格或数组，计算出每个状态对应的最优值。
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回溯或提取结果：根据填充好的表格，可以回溯找到最优解，或者直接从表格中提取最优值。
DP背包问题是算法和计算机科学中的经典问题，有许多优化和变种。不同的问题可能需要不同的动态规划方法和技巧来解决。
二.01背包
（1）介绍
01背包问题是背包问题中的一种常见变种。在01背包问题中，有一组物品，每个物品有一个固定的重量和一个对应的价值，而背包有一个固定的容量限制。每个物品要么放入背包一次，要么不放入，即每个物品的放入决策是离散的，要么选中，要么不选中，因此称为"01"背包。
问题的目标是在背包容量限制下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总重量不超过背包容量，同时总价值最大化。
解决01背包问题的一种常见方法是使用动态规划。以下是解决01背包问题的一般步骤：
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定义状态：通常使用一个二维数组或矩阵来表示状态。dp[i][j] 表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
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状态转移方程：状态转移方程描述了如何从之前的状态推导出当前状态。对于01背包问题，状态转移方程通常如下：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])
其中，dp[i][j]表示考虑前i个物品，在背包容量为j时的最大价值，weight[i]表示第i个物品的重量，value[i]表示第i个物品的价值。这个方程的含义是，在考虑放入第i个物品或不放入的情况下，选择能获得最大价值的方式。
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初始化：将dp数组的第一行和第一列初始化为0，因为容量为0时无法放入任何物品，价值为0。
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填充表格：按照状态转移方程，从左上角开始逐步填充dp数组，直到右下角，得到最优解。
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回溯或提取结果：通过回溯dp数组，可以确定具体哪些物品被放入了背包，以及它们的总价值。
这种动态规划方法可以有效解决01背包问题，但要注意，对于大规模的问题，可能需要优化存储空间或使用其他算法。
（2）例题
P1048 [NOIP2005 普及组] 采药 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
（3）参考代码
?
#include
using namespace std;
int t[105],v[101];
int dp[1005];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>t[i]>>v[i];
}
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=n;j>=t[i];j--){
dp[j]=max(dp[j-t[i]]+v[i],dp[j]);
}
}
cout< 三.完全背包
（1）介绍
完全背包（Unbounded Knapsack）问题是背包问题的一个变种，它与0-1背包问题有些相似，但有一个重要的区别：在完全背包问题中，每种物品可以无限次地选择放入背包中，而不是仅能选择一次或不选。
具体来说，完全背包问题包括以下要素：
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一组不同种类的物品，每种物品都有一个固定的重量（weight[i]）和一个对应的价值（value[i]）。
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一个容量限制的背包，它能够容纳的最大总重量为 W。
问题的目标是选择这些物品，使得它们的总重量不超过背包的容量 W，同时总价值最大化。
解决完全背包问题的方法通常使用动态规划。以下是解决完全背包问题的一般步骤：
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定义状态：通常使用一个一维或二维数组 dp 来表示状态。dp[i] 表示背包容量为 i 时所能获得的最大价值。
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状态转移方程：状态转移方程描述了如何从之前的状态推导出当前状态。对于完全背包问题，状态转移方程通常如下：
dp[i] = max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j])
其中，i 表示当前背包的容量，weight[j] 表示第 j 种物品的重量，value[j] 表示第 j 种物品的价值。这个方程的含义是，在考虑放入第 j 种物品多次或不放入的情况下，选择能获得最大价值的方式。
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初始化：将 dp 数组初始化为0，因为容量为0时价值总是0。
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填充表格：按照状态转移方程，从背包容量小到大逐步填充 dp 数组，直到容量为 W，得到最优解。
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提取结果：dp[W] 就是问题的最优解，它表示容量为 W 时所能获得的最大价值。
通过这个动态规划方法，你可以解决完全背包问题，找到放入背包的最佳物品组合，以最大化总价值。完全背包问题在实际中有许多应用，如资源分配、货物装载等。
（3）不同点：
只需要将
改成for(int j=t[i];j<=n;j++) 即可
四.多重背包
（1）介绍
多重背包（Multiple Knapsack）问题是背包问题的另一种变种，它与0-1背包问题和完全背包问题都有所不同。在多重背包问题中，每种物品有一个固定的重量、一个对应的价值，但是每种物品有限制的数量可供选择放入背包中。这个问题可以描述为：有一组不同种类的物品，每种物品都有一个重量（weight[i]）、一个价值（value[i]）以及一个数量限制（quantity[i]），还有一个背包的容量限制（W）。问题的目标是选择这些物品，使得它们的总重量不超过背包的容量 W，同时总价值最大化，但不能超过每种物品的数量限制。
解决多重背包问题的方法通常也使用动态规划，但相对于完全背包问题，需要在状态转移方程中考虑每种物品的数量限制
（2）办法
使用二进制思想，如a物品v=3,c=6,有8个，则把1个物品合为a1,v=3,c=6;第二个物品合成2个：a2,v=6,c=12;第三个物品合成4个，a3,v=12,c=24；然后二进制不够分了，就把剩余的分为一组，a4,v=3,c=6；
分完后再01背包即可
五.分组背包
（1）介绍
分组背包（Group Knapsack）问题是背包问题的另一种变体，它与传统的0-1背包问题、完全背包问题以及多重背包问题都有一些不同。在分组背包问题中，物品被分成多个组（或者称为类别），每个组内包含若干物品，每个物品都有自己的重量和价值。问题的目标是选择一个或多个组，以及每个选中的组中的一个或多个物品，使得选中的物品总重量不超过背包的容量限制，同时总价值最大化。
（2）解决方案
三重循环即可，同01背包