【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算

前言

  • 本文基础知识部分来自于b站:分享笔记的好人儿的思维导图与王道考研课程,感谢大佬的开源精神,习题来自老师划的重点以及考研真题。
  • 此前我尝试了完全使用Python或是结合大语言模型对考研真题进行数据清洗与可视化分析,本人技术有限,最终数据清洗结果不够理想,相关CSDN文章便没有发出。
  • 这里我将按章节顺序,围绕考研真题展开计算机组成原理总共7章的知识,边学习边整理数据。
  • 第一章链接:【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 1 篇:计算机系统概述

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文章目录

  • 前言
  • 数据的表示
    • 数制与编码
    • 真值和机器数定义
    • 以上知识思维导图
    • 可跳过
      • BCD码
      • 无符号整数运算
      • 有符号整数运算
        • 原码表示
        • 源码缺点
        • 原码→反码→补码的转换(机算)
        • 原码、补码快速转换技巧(手算)
        • 补码的加法运算(例1)
        • 补码的加法运算(例2)
        • 移码
        • 练习
    • 以上知识总结
    • 数据存储时的字节排列
    • 机器数表示方法
      • 定点数
        • 定点数的表示
        • 定点小数vs定点整数
        • 定点数的局限性
      • 浮点数
        • 浮点数的表示(约定小数点位置)
        • 浮点数尾数的规格化
    • 浮点数的表示思维导图
        • IEEE 754标准
  • 数据的运算
    • 布尔代数和基本逻辑电路
    • 加法器(所有算数运算部件都基于加法器)
      • 加法器原理
      • 补码加减运算器(利用加法器实现)
        • **计算有符号数**
        • **计算无符号数**
      • 标志位生成
        • (OF)有符号数补码加减运算器溢出判断
        • (CF)无符号数补码加减运算器溢出判断
      • 溢出判断
      • 符号扩展
    • 加减运算思维导图
    • 加法器设计与实现
      • 一位加法器(全加器)
      • 串行加法器
      • 并行加法器(单级/多级)
      • n位带标志加法器
      • 算数逻辑单元(ALU)
    • C语言中各类运算
    • 定点数的运算
      • 定点数的加减运算
        • 可通过二路选择器+带标志加法器实现加/减运算器
        • 原码定点数加减法运算(符号不参与运算)
        • 补码定点数加减法运算(符号参与运算)
        • 补码溢出的判定方法
      • 定点数的乘除运算
        • 整数的乘运算
        • 整数的除法运算
    • 浮点数的加减运算
      • 不同类型转换
    • 浮点数的运算思维导图
    • 考研真题
    • 408 - 2023
      • 13. 计算short型变量的机器数
      • **14. 计算IEEE 754 单精度浮点数的值**
      • 16. 溢出和借位标志问题
    • 408 - 2022
      • 13. 32位补码整数范围
      • 14. IEEE754单精度浮点数表示
    • 408 - 2021
      • 13. 带符号整数的补码表示与大小比较
      • 14. IEEE754浮点格式表示精度问题
    • (未完待续,逐张试卷分析中)

数据的表示

数制与编码

  • 真值与机器数

    • 机器数:用0和1编码的计算机内部的0/1序列

    • 真值:机器数代表的实际值,现实中带正负号的数,X

  • 数值数据表示的三要素(要确定一个数值数据的值必须先确定这三个要素)

    • 进位计数制

      • 十进制(后缀D)、二进制(后缀B)、十六进制(后缀H,或前缀0x表示)、八进制(后缀O)
    • 定/浮点表示

      • 浮点整数、定点小数、浮点数(解决小数点问题)
    • 二进制编码

      • 原码、补码、反码、移码(解决正负号问题)
  • 十进制数与R进制数之间的转换

    • R进制到十进制(按“权”展开)【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第1张图片
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    • 十进制到二进制,再将二进制转十六(四位一组)或八进制(三位一组)

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    • 二进制<–>八进制、十六进制

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  • 各种进制的常见书写方式
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真值和机器数定义

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以上知识思维导图

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可跳过

BCD码

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无符号整数运算

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有符号整数运算

原码表示

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源码缺点

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原码→反码→补码的转换(机算)

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原码、补码快速转换技巧(手算)

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补码的加法运算(例1)

19=16+2+1
0001 0011
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补码的加法运算(例2)

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移码

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练习

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以上知识总结

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数据存储时的字节排列

  • 大端方式:从最高有效字节到最低有效字节的顺序存储数据(从左到右,正常思维)

  • 小端方式:从最低有效字节到最高有效字节的顺序存储数据(从右到左,便于机器)
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  • 边界对齐问题:存储数据不满字长,填充空白,虽然浪费空间,但提高效率(若数据不对齐可能额外存取一次)

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机器数表示方法

定点数

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定点::小数点位置固定

定点数的表示
  • 原码

    • 最高位为符号位,数值部分不变【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第28张图片
  • 补码

    • 定义:[X]补 = 2^n + X(-2^n <= X < 2^n,mod 2^n)

    • 理解:为了机器数加减运算的统一。
      实际上是模运算,一个负数的补码等于模减该负数的绝对值,即时钟从10点到6点,可以倒拨4格:10-4=6;也可以顺拨8格,10+8=18=6

  • 反码

    • 原码与补码相互转化的过渡
  • 移码

    • 数值加一个偏置常数,通常在真值X上加2^n(便于浮点数加减运算时对阶,阶数有正有负,统一加一个常数让阶数都为正方便比较)
  • 不同机器数之间的转换关系

  • 范围与真值0

    • 定点整数

      • 原码

        • 范围:- (2^n - 1) <= x <= 2^n - 1

          • 最大:0,111…111

            • 最小:1,111…111

              • 真值零: 0,000…000,1,000…000
      • 反码

        • 范围:- (2^n - 1) <= x <= 2^n - 1

          • 最大:0,111…111

            • 最小:1,000…000

              • 真值零: 0,000…000,1,111…111
      • 补码

        • 范围:- 2^n <= x <= 2^n - 1

          • 最大:0,111…111

            • 最小:1,000…000

              • 真值零: 0,000…000
    • 定点小数

      • 原码

        • 范围:- (1 - 2^-n) <= x <= 1 - 2^-n

          • 最大:0,111…111

            • 最小:1,111…111

              • 真值零: 0,000…000,1,000…000
      • 反码

        • 范围:- (1 - 2^-n) <= x <= 1 - 2^-n

          • 最大:0,111…111

            • 最小:1,000…000

              • 真值零: 0,000…000,1,111…111
      • 补码

        • 范围:-1 <= x <= 1 - 2^-n

          • 最大:0,111…111

            • 最小:1,000…000

              • 真值零: 0,000…000
  • 有符号数与无符号数

    • 有符号数:最高位的0/1表示正/负

    • 无符号数:整个机器字长全部二进制位均为数值位,无符号位

    • 同时有无符号数和带符号数,在C编译器中隐含将带符号整数强制转换为无符号数

定点小数vs定点整数

(+/-)0/1 000 0001.
(+/-)0/1. 000 0001【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第29张图片

定点数的局限性

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浮点数

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浮点数的表示(约定小数点位置)
  • 一般格式

    • 浮点数真值格式:N = r^E × M(r阶码的底,E阶码用移码表示,M尾数,S数符)【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第32张图片

    • 表示范围(原码对称,故表示范围关于原点对称)【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第33张图片

    • 浮点数范围比定点数大,但个数不变,故数更稀疏且不均匀

  • 规格化浮点数

    • 规格化数形式:+/-1.M × r^E

      • 为了表示更多有效数字,规定规格化数的小数点前为1
    • 基数2:原码规格化最高位一定是1,补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号相反(基数4原码最高两位不全为0,基数8原码最高三位不全为0)

  • IEEE754标准

    • +/-1.M × 2^E(S数符,E阶码用移码表示全0全1特殊表示,M(Significand)尾数用原码表示,隐含尾数最高数位)【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第34张图片

    • 短浮点数

      • 数符1+阶码8+尾数23=总位数32(偏置值127)

        • 范围:1 × 2^(1-127) ---------- 1.111…111 × 2^(254-127)
    • 长浮点数

      • 数符1+阶码11+尾数52=总位数64(偏置值1023)

        • 范围:1 × 2^(1-1023) ---------- 1.111…111 × 2^(2046-1023)
    • 特殊数的表示

      • 阶码全0,尾数M=0,真值X=0+(0-)

      • 阶码全0,尾数M!=0,非规格化小数

      • 阶码全1,尾数M=0,真值X=+∞(-无穷)

      • 阶码全1,尾数M!=0,非数值NaN

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浮点数尾数的规格化

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浮点数的表示思维导图

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IEEE 754标准

偏置值-1
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  • 关于-1000 0000+0111 1111 = 1111 1111

2^8=1 0000 0000 任何运算结果在mod2的8次方后,都只会保留最低的八位,
所以在这里我们可以 将 0111 1111+1 0000 0000=1 0111 1111,
这样就使 被减数 比 减数 大 1 0111 1111-1000 0000 = 1111 1111

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例1
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例2
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例3
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数据的运算

布尔代数和基本逻辑电路

  • 基本逻辑运算:与或非,任何逻辑表达式可写成三种基本运算的逻辑组合【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第45张图片

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  • 组合逻辑电路:没有存储功能,输出仅依赖于当前输入

  • 具有存储功能,其输出不仅依赖于当前输入,还依赖于存储单元当前状态

  • 组合逻辑部件(功能部件,利用基本逻辑门电路构成):译码器、编码器、多路选择器、加法器

加法器(所有算数运算部件都基于加法器)

加法器原理

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补码加减运算器(利用加法器实现)

计算有符号数

sub=0
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sub=1
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计算无符号数

电路相同,判断溢出方式不同
sub=0
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sub=1
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标志位生成

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【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第56张图片

(OF)有符号数补码加减运算器溢出判断

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(CF)无符号数补码加减运算器溢出判断

【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第58张图片

溢出判断

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方法一【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第60张图片
方法二
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方法三
【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第62张图片

符号扩展

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加减运算思维导图

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加法器设计与实现

一位加法器(全加器)

  • 输入:加数A和B,低位进位Cin

    • 输出:和:F = A ⊕ B ⊕ Cin
      高位进位:Cout=A·B + A·Cin + B·Cin【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第65张图片

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串行加法器

  • n个全加器相连,进位触发器用来寄存进位信号,每一级进位依赖于前一级进位,进位信号逐级形成 Cout=A·B + (A⊕B)·Cin
    在这里插入图片描述

并行加法器(单级/多级)

  • 各级进位信号同时形成,又称先行进位,各进位之间无等待,相互独立并同时产生

    • 辅助函数:Gi = Ai·Bi Pi = Ai + Bi
      全加逻辑方程:Si = Pi⊕Ci Ci+1 = Gi + Pi·Ci

    • C1 = G0 + P0·C0
      C2 = G1 + P1·C1 = G1 + P1·G0 + P1·P0·C0
      C3 = G2 + P2·C2 = G2 + P2·G1 + P2·P1·G0 + P2·P1·P0·C0
      由上式可知:各进位之间无等待,相互独立并同时产生
      【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第67张图片
      优化
      【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第68张图片

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n位带标志加法器

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  • 溢出标志OF(仅有符号数加减法有意义)
    • 含义:有符号数的加减法是否发生了溢出
    • 计算:OF=最高位产生的进位⊕次高位产生的进位
  • 符号标志SF(仅有符号数加减法有意义)
    • 含义:有符号数加减运算结果的正负性
    • SF=最高位的本位和
  • 零标志ZF
    • 含义:运算结果是否为0
    • 计算:n 位全0,ZF=1
  • 进/借位标志CF(仅无符号加减法有意义)
    • 含义:加法时为进位标志,减法时为借位标志
    • 计算:CF=最高位进位⊕sub(减法sub=1,加法sub=0)

算数逻辑单元(ALU)

  • 利用二路选择器+带标志加法器构造加/减运算器【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第71张图片
  • 加/减运算器基础上加寄存器、移位器、控制逻辑可实现ALU【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第72张图片
    - 算数运算:取负、移位、加减乘除、扩展
    - 逻辑运算:与或非

【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第73张图片
这里74181中

  • B3~B0和A3~A0是两个操作数,

  • F3~F0为输出结果。

  • C-l表示最低位的外来进位,

  • Cn+4是7418l向高位的进位;

  • P、G可供先行进位使用。

  • M用于区别算术运算还是逻辑运算;

  • S3~S0的不同取值可实现不同的运算。

  • 输入B3~B0和A3~A0两个机器字长为4bit的信息

  • 输出F3~F0机器字长为4bit的计算结果

  • F3~F0存入寄存器X,寄存器的位数要与机器字长保持一致,所以寄存器的位数=机器字长

  • S3~S0有4bit的信息,对应2^4=16种算数运算和逻辑运算
    知识回顾
    【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第74张图片

C语言中各类运算

  • 算术运算:无符号数、带符号的、浮点数的加减乘除运算

  • 位运算:与、或、取反、异或

  • 逻辑运算:&&、||、!

  • 移位运算(王道分原码补码反码讨论,此处是C语言)

    • 逻辑左/右移(无符号数)

      • 高(低)位移出,低(高)位补0(若高位移出1,则左移发生溢出)
    • 算数左/右移(带符号数)

      • 左移:高位移出,低位补0(若移出位不等于新的符号位,则溢出)

      • 右移:低位移出,高位补符(可能数据丢失)

    • 循环移位

      • 带进位标志位的循环移位

      • 不带进位标志位的循环移位,移出的位需要同时进入进位寄存器

  • 位扩展和位截断

    • 扩展

      • 无符号数:0扩展(前面补0)

      • 带符号数:符号扩展(前面补符)

    • 截断

      • 强行将高位丢弃,故可能发生溢出

定点数的运算

定点数的加减运算

可通过二路选择器+带标志加法器实现加/减运算器
  • 计算机中所有运算都基于加法器实现

  • 加法器不知道所运算的是带符号数还是无符号数

  • 加法器不判定对错,总是取低n位为结果,并生成标志信息

  • 无符号加法溢出条件:CF=1

    • 有符号加溢出条件:OF=1
  • 无符号减法溢出:差为负数,即借位CF=1

    • 其他溢出判定方法见下方
  • 减法做比较大小

    • 无符号数大于:CF=0

    • 有符号数大于:OF=SF

原码定点数加减法运算(符号不参与运算)
  • 加法准则

    • 符号相同:绝对值相加,符号不变

    • 符号不同:绝对值大的减去绝对值小的,符号取绝对值大的

  • 减法准则

    • 减数符号取反,做原码加法运算
补码定点数加减法运算(符号参与运算)
  • 公式:[A+B]补=[A]补 + [B]补(MOD 2^n) [A-B]补=[A]补 + [-B]补(MOD 2^n)
补码溢出的判定方法
  • 一位符号位

    • 参与运算的两个数符号相同,结果符号变化,则溢出

    • 最高位进位与次高位进位不同,则溢出

  • 双符号位(存储仅一符号位,进入ALU后两位符号位)

    • 在乘除等运算中,为了不丢弃中间的溢出结果,多位符号位可以保留符号位和溢出的数值位,保留正确的中间结果

    • 00正数,无溢出

    • 01正溢出(符号位不同,最高位为真正符号)

    • 10负溢出(符号位不同,最高位为真正符号)

    • 11负数,无溢出

定点数的乘除运算

整数的乘运算
  • 高级语言中两个n位整数相乘得到的结果也是n位整数,即取2n位乘积中的低n位

  • 溢出问题(硬件不判溢出,仅保留2n位乘积):乘积的高n位全0或全1,并等于低n位的最高位时不溢出(无符号高n位全0)

  • 相同机器数无符号数和有符号数高n位可能不同,低n位相同,故指令分无符号数乘指令、有符号数乘指令

  • 乘法运算比移位和加法等运算所用时间长,故往往用组合运算代替,例如x×20,20=24+22,故x×20=(x<<4)+(x<<2)

  • 乘法实现细节可在考前看重新看一遍王道回忆细节,前期理解即可

整数的除法运算
  • 整数除运算除了-2^(n-1)/-1会溢出,其他情况不溢出

  • 不能整除时需要舍入

    • 正数:商取比自身小的最接近的整数

    • 负数:商取比自身大的最接近整数(加偏移量2^k-1,右移k位)

  • 整数除法运算复杂,约30或更多时钟周期(除数为2的幂次形式,用右移代替)

  • 除法实现细节可在考前看重新看一遍王道回忆细节,前期理解即可

浮点数的加减运算

  • 对阶

    • 小阶看齐大阶,将阶码小的尾数右移一位,阶加一,直到两个数的阶码相等
  • 尾数求和

  • 规格化(若补码负数则关注第一个0位置,虽然IEEE754标准尾数是原码)

    • 最后形式:+/-1.xxx…xxx

    • 左规:结果为+/-0.0…01xxx…xxx时,需要左规,尾数左移一次,阶码减1,直到第一个1移到小数点左边,作为隐藏位

      • 每次阶码减1判断是否下溢,阶码下溢,结果为0
    • 右规:结果为+/-1x.xxx…xxx时,需要右规,尾数右移一次,阶码加1,直到第一个1移到小数点左边,作为隐藏位

      • 每次阶码加一后判断是否上溢,阶码上溢,中断处理
  • 舍入

    • IEEE754舍入方式

      • 就近舍入(舍入为最近可表示的数)

        • 非中间数:0舍1入,中间数:强迫结果为偶数
      • 朝+∞方向舍入(+∞方向最近的可表示的数)

      • 朝-∞方向舍入(-∞方向最近的可表示的数)

      • 朝0方向舍入=直接截去

    • 舍入结果可能导致尾数未规格化,需再次右规判断溢出情况

  • 若运算结果尾数为0,阶码也置0

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例1
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例2
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不同类型转换

  • char—>int

    • 前面补0
  • int<—>unsigned

    • 都可能溢出丢失数据
  • int—>float

    • 不会发生溢出,但可能有数据舍入
  • double—>float或int

    • 可能发生溢出,可能舍入
  • float或double—>int

    • 数据向0方向截断
  • char—>int—>long—>double
    float—>double

    • 范围精度由小变大,无损失

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浮点数的运算思维导图

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考研真题

408 - 2023

下面是题目13的格式化表述:

13. 计算short型变量的机器数

若short型变量x=-8190,则x的机器数为【 】。

A. E002H

B. E001H

C. 9FFFH

D. 9FFEH

基础知识

在解析这个问题之前,让我们了解以下基础知识:

  1. short型变量:short是一种整数数据类型,通常占用16位内存空间。在计算机内部,整数通常以补码形式表示。这意味着正数和负数都有相应的二进制表示。

  2. 补码表示:补码是一种用于表示带符号整数的方法。正数的补码和原码相同,而负数的补码是将其绝对值的二进制表示按位取反,然后加1。

解析:
short型变量是补码表示的16位带符号整数。x是负数,可先求出8190的机器数,8190=8192-2=213- 2’,8190的机器数为0010 0000 0000 0000B -0000 0000 0000 0010B=0001 1111 11111110B,因此-8190的机器数为1110 0000 0000 0010B = E002H(按位取反,末位加1)。

首先,我们知道short型变量是16位的,因此需要计算-8190的16位补码表示。
2^13表示为10 0000 0000 0000(2)

  1. 首先,计算8190的二进制表示:8190 = 2^13 - 2 = 1 1111 1111 1110。

  2. 接下来,求-8190的补码,即将8190的二进制表示按位取反,然后加1。

    • 按位取反:
      • 0001 1111 1111 1110B
      • 1110 0000 0000 0001B
    • 加1:
      • 1110 0000 0000 0001B
      • +1↓
      • 1110 0000 0000 0010B

首先,将二进制数 1110 0000 0000 0010 分成四组,每组四个二进制位:

  • 1110(二进制)对应于 E(十六进制)。
  • 0000(二进制)对应于 0(十六进制)。
  • 0000(二进制)对应于 0(十六进制)。
  • 0010(二进制)对应于 2(十六进制)。

所以,x的机器数为1110 0000 0000 0010B。在十六进制表示中,答案是选项A:E002H。

14. 计算IEEE 754 单精度浮点数的值

已知float型变量用IEEE 754单精度浮点数格式表示。若float型变量x的机器数为80200000H,则x的值是什么?

A. -2^-128

B. -1.01x2^-127

C. -1.01x2^-126

D. 非数(NAN)
答案:A

基础知识

在解析这个问题之前,让我们了解以下基础知识:

  • IEEE 754 单精度浮点数:IEEE 754是一种标准,用于表示浮点数在计算机中的二进制格式。单精度浮点数使用32位二进制格式,分为符号位、阶码和尾数。

  • 规格化数(normalized numbers):对于规格化数,阶码部分不全为0或全为1,而是以一定的方式表示浮点数的阶。这使得浮点数可以表示较大或较小的数值范围。

  • 非规格化数(denormalized numbers):当阶码部分全为0时,就进入了非规格化数的领域。在这种情况下,尾数部分不再表示1.xxxx的形式,而是0.xxxx的形式。这意味着非规格化数表示非常接近零的小数值,但失去了一些精度。

在这里插入图片描述

【计算机组成原理】考研真题攻克与重点知识点剖析 - 第 2 篇:数据的表示和运算_第82张图片

16. 溢出和借位标志问题

问题: 已知 x 和 y 为 int 类型,当 x=100, y=200 时,执行“x减y”指令的到的溢出标志 OF 和借位标志 CF 分别为 0, 1,那么当 x=10, y=-20 时,执行该指令得到的 OF 和 CF 分别是( )。

A. OF=0, CF=0

B. OF=0, CF=1

C. OF=1, CF=0

D. OF=1, CF=1

答案:B. OF=0, CF=1

基础知识:

int为32位有符号整型,int 为 32 位有符号短整型,用补码表示,最高位为符号位,
表示范围为 在这里插入图片描述

当 x=10, y=-20 时,x-y=30,显然在表示范围之内,不溢出,OF=0。

当 x=10, y=-20 时,[x]补=[x]原=0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010B=0000000AH,[y]原=1000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0100B,[y]补=1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 1100=FFFFFFECH,显然0000000AH-FFFFFFECH不够减,需要借位,CF=1。

408 - 2022

13. 32位补码整数范围

问题: 32位补码所能表示的整数范围是?

A. -2^32 到 2^31 - 1

B. -2^31 到 2^31 - 1

C. -2^22 到 2^32 - 1

D. -2^31 到 2^32 - 1

答案: B. -2^31 到 2^31 - 1

基础知识: 在32位补码表示中,最高的1位用于表示符号位(0表示正数,1表示负数),剩下的31位用于表示数值。因此,32位补码可以表示的整数范围是从-231到231-1。

当然,以下是按照之前的结构以Markdown形式重构的题目和答案:

14. IEEE754单精度浮点数表示

问题: -0.4375的IEEE754单精度浮点数表示为何?

A. BEE0 0000H

B. BF60 0000H

C. BF70 0000H

D. C0E0 0000H

答案: A. BEE0 0000H

基础知识:

类型 数符 阶码 尾数数值 总位数
短浮点数 1 8 23 32

-0.4375=-1.75×2^-2,符号S =1,阶码E=-2+127= 125= 01111101B,尾数0.75=0.11B,
补齐至23位M = 110 0000 0000 0000 0000 0000B。

IEEE754单精度浮点数的格式包括符号位、阶码和尾数部分,总共32位。-0.4375的IEEE 754单精度浮点表示如下:

  • 符号位:0(表示正数)
  • 阶码部分:01111101(对应的十进制为125)
  • 尾数部分:110 0000 0000 0000 0000 0000

拼接起来为BEE0 0000H。

408 - 2021

13. 带符号整数的补码表示与大小比较

问题: 已知带符号整数用补码表示,变量 x,y,z 的机器数分别为 FFFDH,FFFDFH,7FFCH,下列结论中,正确的是?

A. 若 x、y 和 z 为无符号整数,则 z < x < y

B. 若 x、y 和 z 为无符号整数,则 x < y < z

C. 若 x、y 和 z 为带符号整数,则 x < y < z

D. 若 x、y 和 z 为带符号整数,则 y < x < z

答案:D

基础知识:

  1. 带符号整数的补码表示:在计算机中,带符号整数通常使用补码表示。在补码中,最高位为符号位(0 表示正数,1 表示负数),其余位表示数值。

  2. 大小比较规则:对于带符号整数的补码表示,如果两个数的符号位不同,那么符号位为 0 的数更大;如果两个数的符号位相同,那么数值部分越大的数更大。

根据题目中给出的机器数:

  • x 的机器数 FFFDH 表示的是负数,其原码为 1000 0000 0000 0010B,转换成十进制为 -3。
  • y 的机器数 FFFFH 表示的是负数,其原码为 1000 0000 0000 0001B,转换成十进制为 -1。
  • z 的机器数 7FFCH 表示的是正数,其原码为 0111 1111 1111 1100B,转换成十进制为 2044。

根据大小比较规则,有 -3 < -1 < 2044,因此 y < x < z。

所以正确答案是 D. 若 x、y 和 z 为带符号整数,则 y < x < z

14. IEEE754浮点格式表示精度问题

问题: 下列数值中,不能用 IEEE754 浮点格式精确表示的是?

A. 1.2

B. 1.25

C. 2.0

D. 2.5

答案:A

基础知识:

IEEE754 是一种用于表示浮点数的标准格式,它使用科学计数法来表示浮点数,包括三个部分:符号位、指数部分和尾数部分。IEEE754 浮点格式的小数部分通常采用二进制表示。

在 IEEE754 浮点格式中,有效数字部分通常表示成规格化的形式,即一个小数乘以 2 的幂次方。有效数字的小数部分通常是 1 和 0 组成的二进制小数。

对于一个数值能够被精确表示为 IEEE754 浮点数,其小数部分必须满足以下条件:

  • 可以表示成 (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …) 的形式,其中分母是 2 的幂次方。

现在来分析选项中的数值:

A. 1.2 = 6/5 = 1 + 1/5,不满足上述条件,因此不能用 IEEE754 浮点格式精确表示。

B. 1.25 = 5/4 = 1 + 1/4,满足上述条件,可以用 IEEE754 浮点格式精确表示。

C. 2.0 = 2,可以表示成 2 的幂次方,满足条件,可以用 IEEE754 浮点格式精确表示。

D. 2.5 = 5/2 = 1 + 1/2,满足上述条件,可以用 IEEE754 浮点格式精确表示。

所以,不能用 IEEE754 浮点格式精确表示的是 A. 1.2

(未完待续,逐张试卷分析中)

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