PHP算法基础-算法复杂度

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量； 而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度。

简单来说，时间复杂度指的是语句执行次数，空间复杂度指的是算法所占的存储空间

时间复杂度

计算时间复杂度的方法：

1. 用常数1代替运行时间中的所有加法常数
2. 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 去除最高阶项的系数

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),
线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),…，
k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

举个栗子:

sum = n*(n+1)/2;        //时间复杂度O(1)

for(int i = 0; i < n; i++){
    printf("%d ",i);
}                       
//时间复杂度O(n)

for(int i = 0; i < n; i++){
    for(int j = 0; j < n; j++){
        printf("%d ",i);
    }
}               
//时间复杂度O(n^2)

for(int i = 0; i < n; i++){
    for(int j = i; j < n; j++){
        printf("%d ",i);
    }
}   
//运行次数为(1+n)*n/2
//时间复杂度O(n^2)
int i = 0, n = 100;
while(i < n){
    i = i * 2;
}
//设执行次数为x. 2^x = n 即x = log2n
//时间复杂度O(log2n)

最坏时间复杂度和平均时间复杂度
　最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。
　这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
　平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。设每种情况的出现的概率为pi,平均时间复杂度则为sum(pi*f(n))。

常用排序算法的时间复杂度

排序方法	时间复杂度（平均）	时间复杂度（最坏)	时间复杂度（最好)	空间复杂度	稳定性	复杂性
直接插入排序	O(n2)	O(n2)	O(n)	O(1)	稳定	简单
希尔排序	O(nlog2n)	O(n2)	O(n)	O(1)	不稳定	较复杂
直接选择排序	O(n2)	O(n2)	O(n2)	O(1)	不稳定	简单
堆排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(1)	不稳定	较复杂
冒泡排序	O(n2)	O(n2)	O(n)	O(1)	稳定	简单
快速排序	O(nlog2n)	O(n2)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	不稳定	较复杂
归并排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(n)	稳定	较复杂
基数排序	O(d(n+r))	O(d(n+r))	O(d(n+r))	O(n+r)	稳定	较复杂

常见查找算法时间复杂度

查找	平均时间复杂度	查找条件	算法描述
顺序查找	O(n)	无序或有序队列	按顺序比较每个元素，直到找到关键字为止
二分查找（折半查找）	O(logn)	有序数组	查找过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。　如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。
二叉排序树查找	O(logn)	二叉排序树	在二叉查找树b中查找x的过程为：1. 若b是空树，则搜索失败2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树4. 查找右子树。
哈希表法（散列表）	O(1)	先创建哈希表（散列表）	根据键值方式(Key value)进行查找，通过散列函数，定位数据元素。
分块查找	O(logn)	无序或有序队列	将n个数据元素"按块有序"划分为m块（m ≤ n）。每一块中的结点不必有序，但块与块之间必须"按块有序"；即第1块中任一元素的关键字都必须小于第2块中任一元素的关键字；而第2块中任一元素又都必须小于第3块中的任一元素，……。然后使用二分查找及顺序查找。

空间复杂度

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做 S(n)=O(f(n))。

对于一个算法来说，空间复杂度和时间复杂度往往是相互影响的。

当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使空间复杂度的性能变差，即可能导致占用较多的存储空间；反之，当追求一个较好的空间复杂度时，可能会使时间复杂度的性能变差，即可能导致占用较长的运行时间。

有时我们可以用空间来换取时间以达到目的。