蓝桥杯-未名湖边的烦恼 (递归和递推解法)

题目大意：有一群人要还鞋，一群人要租鞋。还鞋的每个人叫做A，租鞋的人叫做B，每个A和每个B之间没有区别。求出有多少种排序方法，使得不会出现租鞋不够用的情况？

分析：每一种合理的排序方法必须满足：无论截止到哪个人，在他前面并且包括他，还鞋的人必须大于等于租鞋的人的数量。

解法1：递归法

当第i个人要去排队时发现，另一类人已经全部排完了，那么解法只有一种了。比如：一个A去排队时，所有的B已经拍好了，那么所有剩下的A往后排就好了，共1种解法。反之亦然。

如果前i-1个人中还鞋人的数量大于租鞋人的数量，那么第i个人可以是还鞋人，也可以是租鞋人；

如果前i-1个人中还鞋人的数量等于租鞋人的数量，那么第i个人只能是还鞋人。

代码展示：

#include 
using namespace std;

int m,n;

int function(int x,int y){   //表示目前还剩下x个人要还鞋，y个人要租鞋 
	if(x==0 || y==0)
		return 1;
	if((m-x)==(n-y))
		return function(x-1,y);
	else if((m-x)>(n-y))
		return function(x-1,y)+function(x,y-1); 
}

int main(){
	cin>>m>>n;
	if(m

一般递归的写法都是比较容易理解，但是复杂度较高，因为在递归过程中会产生很多重复的计算。比如同一个function(1,1)会被计算多多次。

解法2：递推法（动态规划）

递推法类似于动态规划的方法，将原问题分解成一系列子问题，然后自底向上求解。首先，判断还鞋的人是否大于等于租鞋的人，不然的话，输出0结束。然后用f[x][y]保存剩下还鞋的人有x个，租鞋的人有y个。那么我们要求的就是f[m][n]

我们知道，当m-x>n-y时，即排队的人中还鞋的人的数量大于租鞋的人，那么f[x][y] = f[x-1][y] +f[x][y-1] 表示下一个人可以是租鞋的人，也可以是还鞋的人。 当m-x=n-y时，即排队的人中还鞋人的数量等于租鞋人的数量，那么下一个人必须是还鞋的人，那么f[x][y] = f[x-1][y]. 

此外，f[x][y],无论是x或者y,只要有一个为0，则f[x][y]=1. 表示剩下的人是一类人，因为一类人之间没有区分，所以直接排队就好，共一种解法。

x|y	0	1	2	3	4	5
0	1	1	1	1	1	1
1	1	2
2	1			?
3	1
4	1

通过列出上面的一张表，我们可以发现，f[x][y]的值要么是它对应(x,y)上面的一个值，要么是它上方和左方值的和。所以我们可以按行或者按列扫描，即可得到答案，这样的好处是避免了递归法带来的重复计算。

代码展示：

#include 
using namespace std;

int main(){
	int m,n;
	cin>>m>>n;
	int dp[20][20];
	int temp = m-n;
	if(temp<0)
		cout<<0<