7.二分图匹配的匈牙利算法

先来讲讲什么是二分图，一个图的点如果可以被分成两个集合，并且任何一个边的两个端点都不在一个集合中，那么这个图就是二分图

如图

image.png

二分图匹配的解决的又是什么问题？
现在有一些男生和一些女生在舞池聚会，现在他们要跳舞，每个人只愿意跟自己喜欢的异性跳舞，这个喜欢是相互的（即男喜欢此女，此女必定也喜欢此男，因为二分图是无向图），并且一个人只能跳一次舞，现在告诉你他们互相的喜欢关系，问最多可以跳几次舞蹈哈

前人的智慧总是无穷的，引用了一位洛谷大佬的题解来讲一下匈牙利匹配，原题解
https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P3386

匈牙利的本质是协商或者说退让，让我们来用图看一下，下图的连线表示喜欢关系

image.png

当两个男生出现冲突（即两个人选中同一个女生），序号小的要考虑让步去选序号大的女生，如果无法让步（即没有其他可选），则不退让。

可能有点抽象，不要紧，我们来看图
每个人物代表一个点，连线代表可以处的cp（即可以进行的匹配）

开始匹配，毫无疑问男一匹配女一，没有问题，已经匹配的关系用蓝色线表示

image.png

然后叶修来了，他也想要女一，这咋整，黄少看了一下，自己还可以选可爱的妹妹，他说那行，女一让给你了，我要妹妹（女三），于是图变成了这样

image.png

更麻烦的来了，张新杰也要女一，要跟叶修抢，叶修表示我还有初音，那女一就给你了，然后图是这样的

image.png

本篇最惨男主登场，他也喜欢女一，他问男三能不能把女一让给他啊，男三找了一下发现他没有其他能选的，于是孙翔被拒绝了，本场单身狗诞生了，匹配没法进行下去了，匈牙利算法结束！所以匹配数为3！

观察一下，本质是让步，只要出现冲突，序号小的那个要考虑让步，能让就让，如果不能让步（即找不到其他妹子和自己配对）就拒绝让步的要求，让后面那个人不要和他抢，去找其他的女生，如果后面这个人把自己喜欢的妹子都尝试一遍都不行，那就单着吧

老规矩，结合题目看代码，题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P3386

image.png

这是个裸题，我们直接建图跑匈牙利算法（默认o1/就是成对输入的第一个点那边是左）
介绍两个数组，parent数组，顾名思义，就是存右边的点是跟谁匹配的，是已经确定的匹配，par[3]=2代表左2和右3匹配，bool类型used数组则是代表尝试匹配，或者说是被预定，used[2]=1代表右2被预定了，在尝试让步的过程中不能尝试2号点，hh这么说确实抽象，看代码就明白了

#include
#include
#include
using namespace std;
struct xing
{
    int qian,wei;
}bian[1000010];
int n,m,e,u,v,parent[1010],cnt,head[1010],ans,used[1010];
void add(int o1,int o2)
{
    bian[++cnt].qian=head[o1];
    bian[cnt].wei=o2;
    head[o1]=cnt;
}
bool find(int u)
{
    for(int i=head[u];i;i=bian[i].qian)
    {//遍历边，就是挨个尝试右边的点能不能跟自己匹配
        int v=bian[i].wei;
        if(!used[v]){//如果没有被预定
            used[v]=1;//那我就要了，即使这个v点在之前已经有配偶了，即par[v]不为0，那我也要了，本来和这个v点匹配的左边的点尝试让步
            if(parent[v]==0||find(parent[v]))//两种情况，第一种情况：如果par[v]为0说明在之前还没有人和v点确定匹配关系，那我就直接要了，第二种情况：如果已经有人和v匹配了，那么就请par[v]去试试能不能换个人匹配，把v点让给我，如果可以，那v这个点我也要了（是不是和之前的匹配图对上了）
            {
                parent[v]=u;//确定匹配关系
                return 1;//返回真值，意思是这个传入参数u点匹配上了
            }
        }
    }
    return 0;//如果遍历所有的边这个u点都没匹配上，不管是因为他根本没有喜欢的人还是他喜欢的人都被占了同时还没有让步给他，反正他是单着了（无递归）或者返回给之前让u点尝试让步的点一个不能让步的信息（递归进去了）
}
int main()
{
    int o1,o2;
    cin>>n>>m>>e;//一边有n个点，另外一边有m个点，一共有e个关系
    while(e--){//根据输入的关系建边
    cin>>o1>>o2;
    if(o1>n||o2>m)//如果输入不合法，忽略他
    continue;
    add(o1,o2);//这里为了方便，其实是用的单向边，因为没有必要双向，之前说喜欢关系是相互的是方便理解，但是跑算法只需要单边就行了，数据帮你划分了两个集合了
    }
    for(int i=1;i

这个递归过程我写的可能还是有点不太明白，hh，问题不大，这种算法写一遍就能理解了，光看肯定是不行的，下篇见