【数据结构】二叉树详解及基本操作

目录

1.树

2.二叉树的概念、相关知识（重点）

        2.1 概念

        2.2 二叉树的基本形态

         2.3两种特殊的二叉树

                2.3.1 满二叉树

                2.3.2 完全二叉树

         2.4 二叉树的性质

 3.二叉树的相关操作

        3.1二叉树的遍历

                3.1.1 前序遍历

                3.1.2 中序遍历

                3.1.3 后序遍历

        3.2 求二叉树的节点个数

        3.3 求叶子结点数

        3.4 求第k层的结点数

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1.树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 一个特殊节点叫做根节点，没有前驱节点
• 除了根节点以外，每个节点有且只有一个前驱节点，有0个或者多个后继节点
• 树通常利用递归定义

结点的度：一个节点含有的子树个数称为该节点的度 ，例如上图A的度为4

树的度：一棵树中最大的节点的度称为树的度；上图中：树的度为4

叶子节点（终端节点）：度为0的节点称为叶子结点；上图中：F、G、K、L、J

双亲节点（父节点）：若一个节点有子节点，则称该节点为其子节点的父节点；上图中：A是B的父节点

孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 上图中：B是A的孩子节点

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的个高度是4

以下内容只需了解皆即可：

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：B、C、D、E...等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

2.二叉树的概念、相关知识（重点）

        2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

        2.2 二叉树的基本形态

         2.3两种特殊的二叉树

                2.3.1 满二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1 ，则它就是满二叉树。

                2.3.2 完全二叉树

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

简单理解：即一个二叉树的某个节点的子节点不可能出现只有有孩子的情况，有右孩子必定有左孩子，但有左孩子可以没有右孩子。 

         2.4 二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一,棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点

2.若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树的最大节点数是2^k -1(k>=0)

3.对任何一棵二叉树，如果其叶节点的个数为n0,度为2的非叶子结点个数为n2，则有n0=n2+1

4.具有n个节点的完全二叉树的深度为log2(n+1)上取整

5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0,双亲序号：(i-1)/2; i=0时，i为根节点，无双亲节点
• 若2i+1
• 若2i+2

 3.二叉树的相关操作

        3.1二叉树的遍历

            遍历（Traversal）是指沿着某条搜索路线，一次对树中每个节点均做一次且仅做一次访问。遍历是二叉树上重要的操作之一，也是二叉树上进行其他操作的基础。

1.前序遍历(NLR)：Preorder Traversal也称为先序遍历——访问根节点-->根的左子树-->根的右子树

2.中序遍历(LNR)：Inorder Traversal ——根的左子树-->根节点-->根的右子树

3.后序遍历(LRN)：Postorder Traversal ——根的左子树-->根的右子树-->根节点

不难看出，每种遍历的都可以划分为3个步骤，所以我们可以利用递归的方法来进行遍历，同时用递归的方法效率较高，容易理解。

        下面将用这棵树进行详细的讲解：

                3.1.1 前序遍历

 我们已经知道前序遍历的访问顺序是先访问根节点-->左子树-->右子树，所以上图中橙色的箭头表示访问顺序，就可以得出该树的前序遍历结果为   A-->B-->D-->E-->C-->F

        下面给出前序遍历的代码：

  public static void preorder(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preorder(root.left);
        preorder(root.right);
    }

                3.1.2 中序遍历

中序遍历顺序：左子树-->根节点-->右子树，所以优先遍历左子树的左孩子，因为B是D和E的父节点，所以不能先从B开始遍历，只能从D开始遍历

遍历结果为：D-->B-->E-->A-->F-->C

        实现代码：

    public static void inorder(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        inorder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inorder(root.right);
    }

                3.1.3 后序遍历

 后序遍历的顺序：左子树-->右子树-->根节点

 遍历结果：D-->E-->B-->F-->C-->A

        实现代码：

public static void postOrder(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

        3.2 求二叉树的节点个数

节点个数可以拆分成两部分：左子树的结点数+右子树的结点数+1(根节点)

所以我们可以使用递归的方法求出节点的个数

        代码实现：

 public static int nodeCount(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        int leftCount = nodeCount(root.left);
        int rightCount = nodeCount(root.right);

        return leftCount+rightCount+1;
    }

        3.3 求叶子结点数

叶子结点即没有孩子节点，那么用代码表示就是root.left==null&&root.right==null，类似于求结点的个数，用左子树上所有的叶子结点数+右子树上所有的叶子结点数，利用递归可以解决

        代码实现：

 public static int leafCount(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null && root.right==null){
            return 1;
        }
        int leftLeafCount = leafCount(root.left);
        int rightLeafCount = leafCount(root.right);

        return leftLeafCount+rightLeafCount;
    }

        3.4 求第k层的结点数

求第k层，我们可以把问题看做求第k-1层的左右孩子结点数之和，同时又可以将第k层看做k-2层的单独结点个数之和

         代码实现：

public static int calcLevelCount(TreeNode root,int k){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(k == 1){
            return 1;
        }
        int leftNodeCount = calcLevelCount(root.left,k-1);
        int rightNodeCount = calcLevelCount(root.right,k-1);

        return leftNodeCount+rightNodeCount;
    }