动态规划算法的原理和实现（Java）

动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

• 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
• 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 (即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
• 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1）、要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2）、要求装入的物品不能重复

思路分析和图解：

• 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
• 这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
  (1）v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
  (2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
  (3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
  // 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
  // 装入的方式:
  v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
  v[i] : 表示当前商品的价值
  v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
  当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
  详细图解如下：
  

详细代码：

package dynamic;

public class BagProblem {
	public static void main(String[] args) {
		int[] weight = { 1, 4, 3 };
		int[] val = { 1500, 3000, 2000 };
		int m = 4;// 背包大小
		int n = val.length;// 物品个数
		int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
		int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
		for (int j = 0; j < m + 1; j++) {
			v[0][j] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
			v[i][0] = 0;
		}
		for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
			for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
				//因为i是从1开始的，故在weight和value中要-1
				if(j<weight[i-1]) {
					//将上一行v[i-1][j]的值赋给第i行
					v[i][j]=v[i-1][j];
				}
				// v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} 
				else if(j>=weight[i-1]) {
					if(v[i-1][j]>val[i-1]+v[i-1][j-weight[i-1]])
						v[i][j] = v[i-1][j];
					else {
						v[i][j] =val[i-1]+v[i-1][j-weight[i-1]];
						path[i][j]=1;
					}
				}
			}
		}
		// 打印出二维数组
		for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
			for (int j = 0; j < m + 1; j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		//从后往前遍历
		int i = path.length-1;
		int j = path[0].length-1;
		while(i>0&&j>0) {
			if(path[i][j]==1) {
				System.out.printf("将第%d个物品放入背包\n",i);
				//计算背包剩余的重量
				j-=weight[i-1];
			}
			i--;
		}
	}
	
}