漫话最短路径（四）--Floyd（弗洛伊德）算法

前三节，我们讲了三个比较复杂的最短路算法，分别是迪杰斯特拉，bellman-ford和SPFA。dij适合求非负权无向图或有向图最短路径，而后两者适用于有负权边的有向图。

这一节再介绍一个叫做Floyd算法。这个弗洛伊德可不是奥地利那个心理学家哦，只是刚好重名而已。相比前三个算法，它非常简洁，思想是简单的动态规划，原理也异常易懂。它是一个多源最短路径算法，运行一次，就可以求出任意两点之间的最短路径。时间复杂度是$O(V^3)$。另外，它还能检测负权环的存在。可以说，如果按照平均性能来说，它是最优的。

如果是单源最短路径，用Floyd有点浪费。如果是多源最短路径，它又优于跑V次迪杰斯特拉（V次就是$O(VElogE)$）。所以，我们要根据具体的题目去选取合适的算法。

一、弗洛伊德算法的原理

首先，我们知道一个定理：一个有向图中，任意两点间存在最短路径的充要条件就是，图中没有负权环。证明从略。

然后，我们假设一个图中没有负权环。那么，又有另外一个定理：如果最短路径存在，那么它一定是简单路径（简单路径就是经过每一条边最多一次），而且是基本路径（基本路径就是经过每一个顶点最多一次）。因为，如果经过某条边或某个顶点多次，则表明已经走过一个环路，这个环路权值之和一定为正，所以，把它去掉之后才可能成为最短路径。

因此，我们可以这样来定义最短路径。

假设$d(i,j,k)$表示从顶点$i$到顶点$j$，并且只经过$\{1,2,...,k\}$中的某些顶点（也就是说，不经过顶点 $k+1,k+2,...,V$中的任何一个）的最短路径长度。当$k=0$时，表示从$i$出发直达$j$的路径长度。

如果这样的最短路径$d(i,j,k)$不经过顶点$k$，则$d(i,j,k)=d(i,j,k-1)$。否则，这条路径将被顶点$k$分成两段，分别是$d(i,k,k-1)$和$d(k,j,k-1)$。所以，我们可以得到下列递推方程：

$$d(i,j,0)=w(i,j)$$

$$d(i,j,k)=min\{d(i,j,k-1),d(i,k,k-1)+d(k,j,k-1)\}$$

所以很明显，弗洛伊德算法适合用邻接矩阵存储图，而邻接表则不合适。

另外，还有一个重要的问题就是判断是否存在负权环。我们知道，在递推的时候，是不断往小更新邻接矩阵的。如果存在负权环，则沿着某条路径，将使得一个顶点从它自己出发回到它自己，距离减小为负数。因此，只要某一次递推，发现$d(i,i,k)<0$，则立刻得知存在负环。

二、代码实现

刚才经过推导，我们已经得到了递推方程。这明显是一个三维动态规划问题。那么，我们是否需要三维数组呢？当然不是。观察一下，递推方程是沿着$k$递减的，而且，初始状态$k=0$时，距离矩阵刚好就是邻接矩阵。所以，我们可以不断覆盖原来的矩阵，把空间压缩到二维。

这个算法写起来非常简单，直接上代码：

输入：第一行两个整数$v,e$，分别为顶点数、边数；$v<=100，e<=10000$。接下来$e$行，每行三个整数$i,j,w$，分别为这条边的起点，终点以及权值。

输出：v行，每行用空格隔开的v个整数，第i行第j个整数表示从i出发到j的最短距离。如果i到j不可达，输出0x3f3f3f3f对应的十进制数。数据保证任何最短路径长度小于这个数。
如果存在负权环，输出一行“has negative loop!”（不含引号）。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int graph[101][101];

int floyd(int v) // 当有负权边时返回1，否则返回0
{
    int i, j, k;
    for (k = 1; k <= v; k++)
    {
        for (i = 1; i <= v; i++)
        {
            if (i == k) continue;
            for (j = 1; j <= v; j++)
            {
                if (j == k) continue; // 思考这两个continue是为什么，能否去掉？
                if (graph[i][j] > graph[i][k] + graph[k][j])
                {
                    graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j];
                }
            }
            if (graph[i][i] < 0) return 1; // 判断负权环
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    memset(graph[0], 0x3f, sizeof(graph));
    // 这个初始化是有讲究的
    // 首先要保证，graph的每个元素都是一个很大的数
    // 其次要保证任意两个元素相加不会超int范围
    // 再加上memset是按字节的，所以这个数不能大于0x3f
    int v, e, w, i, j;
    scanf("%d %d", &v, &e);
    for (i = 1; i <= v; i++) graph[i][i] = 0;
    while (e--)
    {
        scanf("%d %d %d", &i, &j, &w);
        if (w < graph[i][j]) graph[i][j] = w; // 这是去掉重边和自环的方法
        // 当然，如果自环是负权环，则依然更新上来，这样算法在就能找到这个负权环了
        // 如果是无向图，则应该在这里把graph[j][i]也更新了
    }
    if (floyd(v)) printf("has negative loop!");
    else for (i = 1; i <= v; i++)
    {
        for (j = 1; j <= v; j++)
        {
            printf("%d ", graph[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

代码中有两行continue，思考出为什么了吗？

答案在这里：因为，根据递推方程，被顶点$k$分开的两条路径，分别是$d(i,k,k-1)$和$d(k,j,k-1)$。在最短路径存在的情况下，$d(i,i,k)=0$恒成立。如果$i==k$，则递推方程变为$d(k,j,k)=min\{d(k,j,k-1),d(k,k,k-1)+d(k,j,k-1)\}$，化简得到$d(k,j,k)=d(k,j,k-1)$，也就是说graph[k][j]未发生任何改动。同理，$j==k$也是类似情况。我们用continue，可以跳过不必要的递推。

因此，这两个continue是可以去掉的，不影响算法的正确性，但因为多些递推，会对时间效率有一点影响。

三、效率分析

时间复杂度显然是$O(V^3)$

空间复杂度显然是$O(V^2)$

如果用于求单源最短路径，其实有点浪费。而且，弗洛伊德算法在稠密图上的表现更好，因为和边数无关。

OK，弗洛伊德算法很简单，今天就讲到这里。至此，最短路径的四种算法就全部讲完了。