【ACwing算法基础课】第一讲

1. 快排模板

1.1 快速排序

• 算法思路：
  • 确定枢轴元素x（通常取：q[l]，q[r]，q[(l+r)/2]，随机）
  • 调整区间，使得x左侧元素皆小于等于x，右侧元素皆大于等于x
  • 递归处理左右两侧

// 快速排序算法模板
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
        else break;
    }
    // 此处若用j划分区间则，x不能取q[r]
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
    
    // 另一种情况，使用i划分区间，则x不能取q[l]
    // quick_sort(q, l, i - 1);
    // quick_sort(q, i, r);
}

1.2 快速选择

// 返回第k大的数
int quick_select(int l, int r, int k){
    if (l >= r) return q[l];

    int x = q[l], i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j){
        while(q[++ i] < x);
        while(q[-- j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
	// 单侧查找
    int sl = j - l + 1; // 左侧长度
    if (k <= sl) return quick_sort(l, j, k); // 左侧递归
    return quick_sort(j+1, r, k - sl); // 右侧递归
}

2. 归并模板

2.1 归并排序

• 算法思路：
  • 确定分界点mid = (l+r)/2
  • 递归方式，对mid左侧序列和右侧序列进行归并排序
  • 归并左右两侧已经有序的数组

// 归并排序算法模板
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r){
        if (q[i] < q[j]) 
            tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else 
            tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    }
    // 扫尾
    while (i <= mid) 
        tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) 
        tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    // 还原原数组
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) 
        q[i] = tmp[j];
}

2.2 逆序对

• 算法思路：
  • 左半边内部的逆序对数量：merge_sort(L, mid)
  • 右半边内部的逆序对数量：merge_sort(mid + 1, R)
  • 横跨两边的逆序对数量：在归并时，i指针指向左侧序列，j指针指向右侧序列
    • 当q[i] <= q[j] 时，跳过
    • 当q[i] > q[j] 时，此时对于q[j]而言构成的逆序对数量为mid - i + 1

    int mid = l + r >> 1;
    LL res = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r); // 左右两侧的逆序对个数

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r){
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else{
            tmp[k++] = q[j++];
            res += mid - i + 1; // 横跨左右两侧的逆序对数量
        }
    }

3. 二分模板

3.1 整数二分

// 整数二分算法模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质，向右找，包括mid
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1; // 注意此处***
        if (check(mid)) l = mid; // 向左找，包括mid
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

3.2 浮点数二分

// 浮点数二分算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

4. 高精度

4.1 高精度加法

// 高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
    
    vector<int> C;
    int t = 0; // 进位
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10); // 当前位的数值
        t /= 10; // 是否进位
    }
    
    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

4.2 高精度减法

// 高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
// Ai - Bi - t >= 0,则无需借位，其值为Ai - Bi - t
// Ai - Bi - t < 0,则需要借位，其值为Ai + 10 - Bi - t

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i]; // B有这一位，则参与运算
        C.push_back((t + 10) % 10); // t >= 0,取t;t < 0,取t+10
        if (t < 0) t = 1; // t < 0时需要借位
        else t = 0; // t >= 0时，无需借位
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前导0
    return C;
}

4.3 高精度乘低精度

// 高精度乘低精度
// C = A * b, A >= 0, b > 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ ) // 此处循环结束条件应保证进位t为0
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10); // 当前位保留
        t /= 10; // 进位
    }
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前导0
    return C;
}

4.4 高精度除低精度

// 高精度除以低精度
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b); // 当前位的商
        r %= b; // 当前位的余数
    }
    reverse(C.begin(), C.end()); // 逆序返回
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 处理前导0
    return C;
}

5. 前缀和

5.1 一维前缀和

// 下标从1开始，S[0]定义为0
// S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
for (int i = 1; i <= n; i++){
    S[i] = S[i-1] + a[i] // 初始化前缀和
}
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1] // 计算区间和

5.2 二维前缀和

// 二维前缀和
// S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for (int j = 1; j <= m; j++){
        S[i][j] = S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1] + a[i][j]; // 计算前缀和
    }
}
// 以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为 
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

6. 差分

6.1 一维差分

// B[i] = a[i] - a[i - 1]
// a数组为B数组的前缀和，B数组为a数组的差分数组
// 给区间[l, r]中的每个数加上c：
B[l] += c, B[r + 1] -= c

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

    for (int i = 1; i <= n; i++){ // 计算差分数组
        insert(i, i, a[i]); // b[i] = a[i] - a[i-1]
    }

    while(m--){ // 进行m次插入
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        b[i] += b[i-1]; // 还原a数组[l,r]区间加上c后的结果

6.2 二维差分

// B[i][j] = a[i][j] - a[i-1][j] - a[i][j-1] + a[i-1][j-1]
// a数组为B数组的前缀和，B数组为a数组的差分数组
// 给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c;
S[x2 + 1, y1] -= c;
S[x1, y2 + 1] -= c;
S[x2 + 1, y2 + 1] += c;

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
	for (int i = 1; i <= n; i++){
         for (int j = 1; j <= m; j++){
             insert(i, j, i, j, a[i][j]); // 通过插入的方式计算差分矩阵
         }
     }
     
     while(q--){
         int x1, y1, x2, y2, c;
         scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
         insert(x1, y1, x2, y2, c);
     }
     
     for (int i = 1; i <= n; i++){
         for (int j = 1; j <= m; j++){
             b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1]; // 还原插入c后的原矩阵
         }
         printf("\n");
     }

7. note

ios::sync_with_stdio(false);
// 作用：
// 加快cin, cout速度
// 不可使用scanf