时间序列分析研究的是按时间顺序收集的数据。相邻的观测数据通常相互依赖。因此，时间序列分析的技术需要处理这种相依性。 首先，我们考虑如何在 R 中存储和处理时间序列。接着，我们处理线性时间序列分析，并展现如何将它用于建模和预测房屋价格。其次，我们考虑长期趋势，最后使用协整的概念来改进基本的最小方差对冲比。
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于存储时间序列数据的基本 R 类有 vector、matrix、data.frame 以及 ts 对象。但是，它们可以存储在这些对象中的数据类型相当有限。并且，这些表达方式提供的方法范围也很有限。不过幸运的是，同名的包中的特定对象，zoo、xts 或 timeSeries 对象，对时间序列数据提供了更一般的表达形式。 对每个时间序列分析问题都创建时间序列对象是不必要的，但是复杂程度较高的分析则需要创建时间序列对象。你可以先将时间序列数据存储成向量形式，再计算数据的均值和方差，但如果你想用 decompose 对数据做季节分解，那就必须将数据存储在时间序列对象中。
我们使用苹果公司股票的日收盘价，创建一个名为 appl 的 zoo 对象，存储在 CSV 文件 aapl.csv 中。表格的每一行包括一个日期和一个价格，两项通过逗号分隔。第一行包含了列名（Date 和 Close）。日期格式符合 ISO8601 推荐的基本标准符号（YYYY-MM-DD）。收盘价根据股票的拆分、股利以及相关改变进行调整。
> library(zoo)
> aapl <- read.zoo("aapl.csv", sep=",", header=TRUE, format="%Y-%m-%d")
> plot(aapl, main="APPLE Closing Prices on NASDAQ", ylab="Price (USD)", xlab="Date")
使用下面的命令，我们可以提取时间序列开头部分或结尾部分。
> head(aapl)
2000-01-03 2000-01-04 2000-01-05 2000-01-06 2000-01-07 2000-01-10
27.58 25.25 25.62 23.40 24.51 24.08
> tail(aapl)
2013-04-17 2013-04-18 2013-04-19 2013-04-22 2013-04-23 2013-04-24
402.80 392.05 390.53 398.67 406.13 405.46
使用下面的命令，可以找出苹果股价在所有时间中的高点，和这个高点发生的日期。
> aapl[which.max(aapl)]
2012-09-19
694.86
当处理时间序列时，通常收益率更受关注，价格却不会。其原因是收益率通常平稳。因此我们会计算简单收益率或连续复合收益率（按百分比的形式）。
> ret_simple <- diff(aapl)/lag(aapl, k=-1)*100
> ret_cont <- diff(log(aapl))*100
同时，我们也可以得到简单收益率的概括统计。在这里，我们使用 coredata 方法来表明我们仅仅关注股票价格，而非索引（日期）。
> summary(coredata(ret_simple))
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-51.85888 -1.32475 0.07901 0.12527 1.55332 13.91131
可以看出，最大的单日损失是 51.86%。我们还可以使用下面的命令获得这个损失发生的日期。
> ret_simple[which.min(ret_simple)]
2000-09-29
-51.85888
上网快速搜索可以发现，这个股价的剧烈变动缘于一个盈利预警的发布。我们可以画出直方图来加深理解日收益率的相关频率。对收益率数据进行分组时，我们可以使用 break 参数来指定每组的元素个数。
> hist(ret_simple, breaks=100, main="Histogram of Simple Returns", xlab="%")
我们也可以把分析限定于时间序列的一个子集（window）中。比如，苹果股价在 2013 年的最高点可以通过运行下面的命令的找到。
> aapl_2013 <- window(aapl, start='2013-01-01', end='2013-12-31')
> aapl_2013[which.max(aapl_2013)]
2013-01-02
545.85
从风险管理的角度看，收益率分布的分位数很有意义。比如，我们使用简单的历史模拟法，可以很容易确定一天中置信水平为 99% 的在险价值（Value-at-Risk）。
> quantile(ret_simple, probs=0.01)
1%
-7.042678
因此，在任意给定的一天中，收益率低于 −7% 的概率只有 1%。但是如果这一天发生了这样的情形（每年大约会发生 2.5 次），7% 将是最小的损失量。 线性时间序列的建模与预测 线性时间序列的一类重要模型是自回归单整移动平均（Autoregressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型族。ARIMA 模型假定了时间序列的当前值只依赖于自身的过去值和某些误差项的过去值。建立 ARIMA 模型包含了以下 3 个阶段。 1．模型识别。 2．模型估计。 3．模型诊断检验。 模型识别的阶段包括了使用图方法或信息准则来确定试验模型的阶数（包含的过去值个数和过去误差项个数）。模型阶数确定之后需要估计模型参数，通常会使用最小二乘方法或者极大似然方法。最后，为了检查模型可能存在的缺陷，必须仔细检查拟合的模型。这个目的可以通过保证模型残差的行为符合白噪声的特点来实现，换句话说，残差不存在线性依赖。
> hp <- read.zoo("UKHP.csv", sep=",", header=TRUE, format="%Y-%m", FUN=as.yearmon)
参数 FUN 对日期列调用给定的函数（as.yearmon，表示月度数据点）。为了确认指定 as.yearmon 真正存储了月度数据（每个周期 12 个子周期），我们可以查询数据序列的频率。
> frequency(hp)
[1] 12
个周期（称为年）中有 12 个子周期（称为月）。为了深入分析，我们再次计算数据的简单收益率。
> hp_ret <- diff(hp)/lag(hp, k=-1)*100
们使用 forecast 包提供的 auto.arima 函数，在一步中同时识别最优模型并估计参数。除了收益率序列（hp_ret），函数还使用了几个参数。通过指定 stationary = TRUE，我们将搜索仅仅限于平稳模型。同样地，seasonal = FALSE 将搜索限定于非季节模式。此外，我们选择模型时，选择赤池信息量来度量模型的相对质量。
> mod <- auto.arima(hp_ret, stationary=TRUE, seasonal=FALSE, ic="aic")
为了确定拟合系数的值，我们可以查询模型的输出。
> mod
Series: hp_ret
ARIMA(2,0,0) with non-zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 mean
0.2299 0.3491 0.4345
s.e. 0.0573 0.0575 0.1519
sigma^2 estimated as 1.118: log likelihood=-390.97
AIC=789.94 AICc=790.1 BIC=804.28
根据赤池信息量准则，看起来 AR（2）模型拟合数据最好。当然，我们也可以使用命令 pacf 画出偏自相关函数，从视觉上来确定滞后阶数。AR（2）模型给出了两个 AR 系数、截距（如果模型包含 AR 项，截距实际上是均值）以及相应的标准误。在下面的例子中，因为水平为 5% 的置信区间没有包括 0，所以这些统计量都在 5% 的水平上显著。
> confint(mod)
2.5 % 97.5 %
ar1 0.1174881 0.3422486
ar2 0.2364347 0.4617421
intercept 0.1368785 0.7321623
如果模型包含不显著的系数，我们可以使用带有 fixed 参数的 arima 函数重新估计模型，这相当于输入元素为 0 和 NA 的向量。NA 表示相应的变量系数需要估计而 0 表示相应的变量系数需要设置为 0。
一个快速验证模型的方法是运行下面的命令画出时间序列的诊断图。
> tsdiag(mod)
时间序列的诊断 标准化残差看来没有表现出波动率聚集，ACF 图中的残差自相关并不显著，还有自相关的 Ljung-Box 检验的 p 值看起来很高，综上所以残差独立的原假设不能被拒绝，因此模型看来良好。 为了评估模型对样本数据的拟合良好程度，我们可以画出原始的月回报（细的黑色实线）与拟合值（宽的红色点线）的对比图形。
> plot(mod$x, lty=1, main="UK house prices: raw data vs. fitted + values", ylab="Return in percent", xlab="Date")
> lines(fitted(mod), lty=2, lwd=2, col="red")
> accuracy(mod)
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set 0.001203096 1.051422 0.8059929 -Inf Inf 0.7154503
ACF1
Training set -0.004848183
这个命令返回平均误差、均方误差、平均绝对误差、平均百分比误差、平均绝对值百分比误差和平均绝对比例误差。
为了预测接下来 3 个月的月收益率（2013 年 4～6 月），我们使用下面的命令。
> predict(mod, n.ahead=3)
$pred
Apr May Jun
2013 0.5490544 0.7367277 0.5439708
$se
Apr May Jun
2013 1.057401 1.084978 1.165247
所以，我们预期在接下来的 3 个月中，平均房屋价格稍有增长，但标准误比较高，大约为 1%。为了画出带有标准误的预测，我们可以使用下面的命令。
> plot(forecast(mod))
协整的思想是指寻找非平稳时间序列之间的一个线性组合，这个线性组合是一个平稳时间序列。因此，协整方法可以用于检测非平稳时间序列（比如价格）之间的稳定长期关系。 航空燃油的交叉对冲 航空公司很自然需要购买航空燃油。但由于航空燃油价格的波动很剧烈，大部分航空公司会将它们对航空燃油价格变化的风险敞口对冲掉一部分。如果市场中缺乏航空燃油 OTC 产品（译注：OTC 产品指交易所场外柜台交易产品），航空公司会使用相关交易所交易的期货合约（比如，取暖油）来实现对冲。在下面的部分中，我们首先使用经典方法导出最优对冲比率，这种方法仅仅考虑两种价格之间短期波动。然后考察价格之间的长期稳定联系，进而改进最优对冲比。
> library(urca)
Warning message:
程辑包‘urca’是用R版本3.6.3 来建造的
> prices <- read.zoo("JetFuelHedging.csv", sep=",", FUN=as.yearmon, format="%Y-%m", header=TRUE)
现在我们仅仅考虑两种商品的短期行为（月价格改变）。通过拟合一个用取暖油价格变化来解释航空燃油价格的线性模型，可以推导出两种商品的最小方差对冲比率。线性模型中的 beta 系数就是最优对冲比。
> simple_mod <- lm(diff(prices$JetFuel) ~ diff(prices$HeatingOil) + 0)
函数 lm（用于线性模型）估计了航空燃油价格变动对取暖油价格变动的最佳拟合系数。+0 项表示截距设置为 0，意味着航空公司不持有现金。
> summary(simple_mod)
Call:
lm(formula = diff(prices$JetFuel) ~ diff(prices$HeatingOil) +
0)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.52503 -0.02968 0.00131 0.03237 0.39602
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
diff(prices$HeatingOil) 0.89059 0.03983 22.36 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.0846 on 189 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7257, Adjusted R-squared: 0.7242
F-statistic: 499.9 on 1 and 189 DF, p-value: < 2.2e-16
结果得到了对冲比率为 0.89059 和残差标准差为 0.0846。但是，交叉对冲并非完美无缺，推导出的对冲组合结果仍然有风险。 现在，我们通过考察航空燃油和取暖油期货价格之间存在的长期关系，尝试改进方差比。
> plot(prices$JetFuel, main="Jet Fuel and Heating Oil Prices", xlab="Date", ylab="USD")
> lines(prices$HeatingOil, col="red")
我们使用 Engle 和 Granger 的两步估计方法。首先，使用增强的 Dickey-Fuller 检验（augmented Dickey-Fuller test，ADF 检验）对两个序列进行单位根检验（非平稳性）。
> jf_adf <- ur.df(prices$JetFuel, type="drift")
> summary(jf_adf)
###############################################
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
###############################################
Test regression drift
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.06212 -0.05015 0.00566 0.07922 0.38086
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.03050 0.02177 1.401 0.16283
z.lag.1 -0.01441 0.01271 -1.134 0.25845
z.diff.lag 0.19471 0.07250 2.686 0.00789 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.159 on 186 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.04099, Adjusted R-squared: 0.03067
F-statistic: 3.975 on 2 and 186 DF, p-value: 0.0204
Value of test-statistic is: -1.1335 0.9865
Critical values for test statistics:
1pct 5pct 10pct
tau2 -3.46 -2.88 -2.57
phi1 6.52 4.63 3.81
结果显示，因为检验统计量值 −1.1335 大于临界值 −3.46，所以在 1% 的置信水平上不能拒绝非平稳（航空燃油时间序列包含一个单位根）的原假设。同样的结果对取暖油也成立（检验统计量是 −1.041）。
> ho_adf <- ur.df(prices$HeatingOil, type="drift")
> summary(ho_adf)
###############################################
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
###############################################
Test regression drift
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.78839 -0.06344 -0.00128 0.07418 0.49186
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.02815 0.02115 1.331 0.1847
z.lag.1 -0.01314 0.01263 -1.041 0.2992
z.diff.lag 0.14419 0.07296 1.976 0.0496 *
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.1534 on 186 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.02418, Adjusted R-squared: 0.01369
F-statistic: 2.304 on 2 and 186 DF, p-value: 0.1027
Value of test-statistic is: -1.041 0.9002
Critical values for test statistics:
1pct 5pct 10pct
tau2 -3.46 -2.88 -2.57
phi1 6.52 4.63 3.81
现在我们可以继续估计静态均衡模型，并使用 ADF 方法检验时间序列的残差是否平稳。请注意，目前的研究序列是上一步的估计结果，因此，我们现在必须使用不同的临界值。
> mod_static <- summary(lm(prices$JetFuel ~ prices$HeatingOil))
> error <- residuals(mod_static)
> error_cadf <- ur.df(error, type="none")
> summary(error_cadf)
###############################################
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
###############################################
Test regression none
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.19162 -0.03385 -0.00516 0.02879 0.47426
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
z.lag.1 -0.74476 0.08357 -8.912 4.46e-16 ***
z.diff.lag 0.12304 0.07264 1.694 0.092 .
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.07107 on 187 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.3417, Adjusted R-squared: 0.3347
F-statistic: 48.53 on 2 and 187 DF, p-value: < 2.2e-16
Value of test-statistic is: -8.912
Critical values for test statistics:
1pct 5pct 10pct
tau1 -2.58 -1.95 -1.62
得到的检验统计量是 −8.912，而规模为 200 的样本在 1% 的置信水平上的临界值为 −2.85。所以，我们拒绝非平稳的原假设。因此我们发现了两个协整变量并且可以进行第二步，两个协整变量意味着一个误差修正模型（ECM）。ECM 是一个动态模型，刻画了系统如何（以及多快）返回之前估计的静态均衡，这个静态均衡存储在变量 mod_static 中。
> djf <- diff(prices$JetFuel)
> dho <- diff(prices$HeatingOil)
> error_lag <- lag(error, k=-1)
> mod_ecm <- lm(djf ~ dho + error_lag)
> summary(mod_ecm)
Call:
lm(formula = djf ~ dho + error_lag)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.19332 -0.03391 -0.00101 0.02128 0.44942
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.001511 0.005013 0.301 0.763
dho 0.899489 0.032547 27.637 <2e-16 ***
error_lag -0.655301 0.066303 -9.883 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.06892 on 187 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8189, Adjusted R-squared: 0.817
F-statistic: 422.9 on 2 and 187 DF, p-value: < 2.2e-16
通过考察航空燃油价格和取暖油价格之间存在的长期联系（协整），对冲比现在稍微提高了一点（0.89948），并且残差标准差显著地降低了（−0.65530）。误差项的系数为负（−0.65530）：两个价格之间原先较大的偏差有所修正，价格向它们的长期稳定关系移动。