胜者树与败者树, 多路平衡归并外部排序

胜者树与败者树  

       胜者树和败者树都是完全二叉树，是树形选择排序的一种变型。每个叶子结点相当于一个选手，每个中间结点相当于一场比赛，每一层相当于一轮比赛。

 

      不同的是，胜者树的中间结点记录的是胜者的标号；而败者树的中间结点记录的败者的标号。

 

       胜者树与败者树可以在log(n)的时间内找到最值。任何一个叶子结点的值改变后，利用中间结点的信息，还是能够快速地找到最值。在k路归并排序中经常用到。

 

一、胜者树

      

       胜者树的一个优点是，如果一个选手的值改变了，可以很容易地修改这棵胜者树。只需要沿着从该结点到根结点的路径修改这棵二叉树，而不必改变其他比赛的结果。

Fig. 1

Fig.1是一个胜者树的示例。规定数值小者胜。

1.         b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3；

2.         b3 PK b0，b3胜b0负，内部结点ls[2]的值为3；

3.         b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1；

4.         b3 PK b1，b3胜b1负，内部结点ls[1]的值为3。.

当Fig. 1中叶子结点b3的值变为11时，重构的胜者树如Fig. 2所示。

1.         b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3；

2.         b3 PK b0，b0胜b3负，内部结点ls[2]的值为0；

3.         b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1；

4.         b0 PK b1，b1胜b0负，内部结点ls[1]的值为1。.

Fig. 2

 

 

二、败者树

 

       败者树是胜者树的一种变体。在败者树中，用父结点记录其左右子结点进行比赛的败者，而让胜者参加下一轮的比赛。败者树的根结点记录的是败者，需要加一个结点来记录整个比赛的胜利者。采用败者树可以简化重构的过程。

 

Fig. 3

Fig. 3是一棵败者树。规定数大者败。

1.         b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为4；

2.         b3 PK b0，b3胜b0负，内部结点ls[2]的值为0；

3.         b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为2；

4.         b3 PK b1，b3胜b1负，内部结点ls[1]的值为1；

5.         在根结点ls[1]上又加了一个结点ls[0]=3，记录的最后的胜者。

败者树重构过程如下：

·            将新进入选择树的结点与其父结点进行比赛：将败者存放在父结点中；而胜者再与上一级的父结点比较。

·            比赛沿着到根结点的路径不断进行，直到ls[1]处。把败者存放在结点ls[1]中，胜者存放在ls[0]中。

Fig. 4

       Fig. 4是当b3变为13时，败者树的重构图。

 

       注意，败者树的重构跟胜者树是不一样的，败者树的重构只需要与其父结点比较。对照Fig. 3来看，b3与结点ls[4]的原值比较，ls[4]中存放的原值是结点4，即b3与b4比较，b3负b4胜，则修改ls[4]的值为结点3。同理，以此类推，沿着根结点不断比赛，直至结束。

 

        由上可知，败者树简化了重构。败者树的重构只是与该结点的父结点的记录有关，而胜者树的重构还与该结点的兄弟结点有关。

败者树 多路平衡归并外部排序

一 外部排序的基本思路

假设有一个72KB的文件，其中存储了18K个整数，磁盘中物理块的大小为4KB，将文件分成18组，每组刚好4KB。

首先通过18次内部排序，把18组数据排好序，得到初始的18个归并段R1~R18，每个归并段有1024个整数。

然后对这18个归并段使用4路平衡归并排序：

第1次归并：产生5个归并段

R11   R12    R13    R14    R15

其中

R11是由{R1,R2,R3,R4}中的数据合并而来

R12是由{R5,R6,R7,R8}中的数据合并而来

R13是由{R9,R10,R11,R12}中的数据合并而来

R14是由{R13,R14,R15,R16}中的数据合并而来

R15是由{R17,R18}中的数据合并而来

把这5个归并段的数据写入5个文件：

foo_1.dat    foo_2.dat    foo_3.dat     foo_4.dat     foo_5.dat

 

第2次归并：从第1次归并产生的5个文件中读取数据，合并，产生2个归并段

R21  R22

其中R21是由{R11,R12,R13,R14}中的数据合并而来

其中R22是由{R15}中的数据合并而来

把这2个归并段写入2个文件

bar_1.dat   bar_2.dat

 

第3次归并：从第2次归并产生的2个文件中读取数据，合并，产生1个归并段

R31

R31是由{R21,R22}中的数据合并而来

把这个文件写入1个文件

foo_1.dat

此即为最终排序好的文件。

 

二 使用败者树加快合并排序

外部排序最耗时间的操作时磁盘读写，对于有m个初始归并段，k路平衡的归并排序，磁盘读写次数为

|logkm|，可见增大k的值可以减少磁盘读写的次数，但增大k的值也会带来负面效应，即进行k路合并

的时候会增加算法复杂度，来看一个例子。

把n个整数分成k组，每组整数都已排序好，现在要把k组数据合并成1组排好序的整数，求算法复杂度

u1: xxxxxxxx

u2: xxxxxxxx

u3: xxxxxxxx

.......

uk: xxxxxxxx

算法的步骤是：每次从k个组中的首元素中选一个最小的数，加入到新组，这样每次都要比较k-1次，故

算法复杂度为O((n-1)*(k-1))，而如果使用败者树，可以在O(logk)的复杂度下得到最小的数，算法复杂

度将为O((n-1)*logk)， 对于外部排序这种数据量超大的排序来说，这是一个不小的提高。

 

关于败者树的创建和调整，可以参考清华大学《数据结构-C语言版》

 

三 产生二进制测试数据

打开Linux终端，输入命令

dd if=/dev/urandom of=random.dat bs=1M count=512

 这样在当前目录下产生一个512M大的二进制文件，文件内的数据是随机的，读取文件，每4个字节

看成1个整数，相当于得到128M个随机整数。

四 程序实现

 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include

 #include
 #include
 #include

 #define MAX_INT ~(1<<31)
 #define MIN_INT 1<<31

 //#define DEBUG

 #ifdef DEBUG
 #define debug(...) debug( __VA_ARGS__)
 #else
 #define debug(...)
 #endif

 #define MAX_WAYS 100

 typedef struct run_t {
     int *buf;       /* 输入缓冲区 */
     int length;     /* 缓冲区当前有多少个数 */
     int offset;     /* 缓冲区读到了文件的哪个位置 */
     int idx;        /* 缓冲区的指针 */
 } run_t;

 static unsigned int K;              /* K路合并 */
 static unsigned int BUF_PAGES;      /* 缓冲区有多少个page */
 static unsigned int PAGE_SIZE;      /* page的大小 */
 static unsigned int BUF_SIZE;       /* 缓冲区的大小, BUF_SIZE = BUF_PAGES*PAGE_SIZE */

 static int *buffer;                 /* 输出缓冲区 */

 static char input_prefix[] = "foo_";
 static char output_prefix[] = "bar_";

 static int ls[MAX_WAYS];            /* loser tree */

 void swap(int *p, int *q);
 int partition(int *a, int s, int t);
 void quick_sort(int *a, int s, int t);
 void adjust(run_t ** runs, int n, int s);
 void create_loser_tree(run_t **runs, int n);
 long get_time_usecs();
 void k_merge(run_t** runs, char* input_prefix, int num_runs, int base, int n_merge);
 void usage();


 int main(int argc, char **argv)
 {
     char                filename[100];
     unsigned int    data_size;
     unsigned int    num_runs;               /* 这轮迭代时有多少个归并段 */
     unsigned int    num_merges;             /* 这轮迭代后产生多少个归并段 num_merges = num_runs/K */
     unsigned int    run_length;             /* 归并段的长度，指数级增长 */
     unsigned int    num_runs_in_merge;      /* 一般每个merge由K个runs合并而来，但最后一个merge可能少于K个runs */
     int                 fd, rv, i, j, bytes;
     struct stat         sbuf;

     if (argc != 3) {
         usage();
         return 0;
     }
     long start_usecs = get_time_usecs();

     strcpy(filename, argv[1]);
     fd = open(filename, O_RDONLY);
     if (fd < 0) {
         printf("can't open file %s\n", filename);
         exit(0);
     }
     rv = fstat(fd, &sbuf);
     data_size = sbuf.st_size;

     K = atoi(argv[2]);
     PAGE_SIZE = 4096;                           /* page = 4KB */
     BUF_PAGES = 32;
     BUF_SIZE = PAGE_SIZE*BUF_PAGES;
     num_runs = data_size / PAGE_SIZE;           /* 初始时的归并段数量，每个归并段有4096 byte, 即1024个整数 */
     buffer = (int *)malloc(BUF_SIZE);

     run_length = 1;
     run_t **runs = (run_t **)malloc(sizeof(run_t *)*(K+1));
     for (i = 0; i < K; i++) {
         runs[i] = (run_t *)malloc(sizeof(run_t));
         runs[i]->buf = (int *)calloc(1, BUF_SIZE+4);
     }
     while (num_runs > 1) {
         num_merges = num_runs / K;
         int left_runs = num_runs % K;
         if(left_runs > 0) num_merges++;
         for (i = 0; i < num_merges; i++) {
             num_runs_in_merge = K;
             if ((i+1) == num_merges && left_runs > 0) {
                 num_runs_in_merge = left_runs;
             }
             int base = 0;
             printf("Merge %d of %d,%d ways\n", i, num_merges, num_runs_in_merge);
             for (j = 0; j < num_runs_in_merge; j++) {
                 if (run_length == 1) {
                     base = 1;
                     bytes = read(fd, runs[j]->buf, PAGE_SIZE);
                     runs[j]->length = bytes/sizeof(int);
                     quick_sort(runs[j]->buf, 0, runs[j]->length-1);
                 } else {
                     snprintf(filename, 20, "%s%d.dat", input_prefix, i*K+j);
                     int infd = open(filename, O_RDONLY);
                     bytes = read(infd, runs[j]->buf, BUF_SIZE);
                     runs[j]->length = bytes/sizeof(int);
                     close(infd);
                 }
                 runs[j]->idx = 0;
                 runs[j]->offset = bytes;
             }
             k_merge(runs, input_prefix, num_runs_in_merge, base, i);
         }

         strcpy(filename, output_prefix);
         strcpy(output_prefix, input_prefix);
         strcpy(input_prefix, filename);

         run_length *= K;
         num_runs = num_merges;
     }

     for (i = 0; i < K; i++) {
         free(runs[i]->buf);
         free(runs[i]);
     }
     free(runs);
     free(buffer);
     close(fd);

     long end_usecs = get_time_usecs();
     double secs = (double)(end_usecs - start_usecs) / (double)1000000;
     printf("Sorting took %.02f seconds.\n", secs);
     printf("sorting result saved in %s%d.dat.\n", input_prefix, 0);

     return 0;
 }

 void k_merge(run_t** runs, char* input_prefix, int num_runs, int base, int n_merge)
 {
     int bp, bytes, output_fd;
     int live_runs = num_runs;
     run_t *mr;
     char filename[20];

     bp = 0;
     create_loser_tree(runs, num_runs);

     snprintf(filename, 100, "%s%d.dat", output_prefix, n_merge);
     output_fd = open(filename, O_CREAT|O_WRONLY|O_TRUNC,
             S_IRWXU|S_IRWXG);
     if (output_fd < 0) {
         printf("create file %s fail\n", filename);
         exit(0);
     }

     while (live_runs > 0) {
         mr = runs[ls[0]];
         buffer[bp++] = mr->buf[mr->idx++];
         // 输出缓冲区已满
         if (bp*4 == BUF_SIZE) {
             bytes = write(output_fd, buffer, BUF_SIZE);
             bp = 0;
         }
         // mr的输入缓冲区用完
         if (mr->idx == mr->length) {
             snprintf(filename, 20, "%s%d.dat", input_prefix, ls[0]+n_merge*K);
             if (base) {
                 mr->buf[mr->idx] = MAX_INT;
                 live_runs--;
             } else {
                 int fd = open(filename, O_RDONLY);
                 lseek(fd, mr->offset, SEEK_SET);
                 bytes = read(fd, mr->buf, BUF_SIZE);
                 close(fd);
                 if (bytes == 0) {
                     mr->buf[mr->idx] = MAX_INT;
                     live_runs--;
                 }
                 else {
                     mr->length = bytes/sizeof(int);
                     mr->offset += bytes;
                     mr->idx = 0;
                 }
             }
         }
         adjust(runs, num_runs, ls[0]);
     }
     bytes = write(output_fd, buffer, bp*4);
     if (bytes != bp*4) {
         printf("!!!!!! Write Error !!!!!!!!!\n");
         exit(0);
     }
     close(output_fd);
 }

 long get_time_usecs()
 {
     struct timeval time;
     struct timezone tz;
     memset(&tz, '\0', sizeof(struct timezone));
     gettimeofday(&time, &tz);
     long usecs = time.tv_sec*1000000 + time.tv_usec;

     return usecs;
 }

 void swap(int *p, int *q)
 {
     int     tmp;

     tmp = *p;
     *p = *q;
     *q = tmp;
 }

 int partition(int *a, int s, int t)
 {
     int     i, j;   /* i用来遍历a[s]...a[t-1], j指向大于x部分的第一个元素 */

     for (i = j = s; i < t; i++) {
         if (a[i] < a[t]) {
             swap(a+i, a+j);
             j++;
         }
     }
     swap(a+j, a+t);

     return j;
 }

 void quick_sort(int *a, int s, int t)
 {
     int     p;

     if (s < t) {
         p = partition(a, s, t);
         quick_sort(a, s, p-1);
         quick_sort(a, p+1, t);
     }
 }

 void adjust(run_t ** runs, int n, int s)
 {
     int t, tmp;

     t = (s+n)/2;
     while (t > 0) {
         if (s == -1) {
             break;
         }
         if (ls[t] == -1 || runs[s]->buf[runs[s]->idx] > runs[ls[t]]->buf[runs[ls[t]]->idx]) {
             tmp = s;
             s = ls[t];
             ls[t] = tmp;
         }
         t >>= 1;
     }
     ls[0] = s;
 }

 void create_loser_tree(run_t **runs, int n)
 {
     int     i;

     for (i = 0; i < n; i++) {
         ls[i] = -1;
     }
     for (i = n-1; i >= 0; i--) {
         adjust(runs, n, i);
     }
 }

 void usage()
 {
     printf("sort  \n");
     printf("\tfilename: filename of file to be sorted\n");
     printf("\tK-ways: how many ways to merge\n");
     exit(1);
 }

五 编译运行

gcc sort.c -o sort -g

./sort random.dat 64

以64路平衡归并对random.dat内的数据进行外部排序。在I5处理器，4G内存的硬件环境下，实验结果如下

文件大小    耗时

128M        14.72 秒

256M        30.89 秒

512M        71.65 秒

1G             169.18秒

 

六 读取二进制文件，查看排序结

 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include

 #include
 #include
 #include

 int main(int argc, char **argv)
 {
     char *filename = argv[1];
     int *buffer = (int *)malloc(1<<20);
     struct stat     sbuf;
     int rv, data_size, i, bytes, fd;

     fd = open(filename, O_RDONLY);
     if (fd < 0) {
         printf("%s not found!\n", filename);
         exit(0);
     }
     rv = fstat(fd, &sbuf);
     data_size = sbuf.st_size;

     bytes = read(fd, buffer, data_size);
     for (i = 0; i < bytes/4; i++) {
         printf("%d ", buffer[i]);
         if ((i+1) % 10 == 0) {
             printf("\n");
         }
     }
     printf("\n");
     close(fd);
     free(buffer);
     return 0;
 }