AcWing 143. 最大异或对(Trie树)

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题目描述 ：

在给定的 N 个整数 A1，A2……AN 中选出两个进行 xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入输出格式 ：

输入

第一行输入一个整数 N。

第二行输入 N 个整数 A1～AN。

输出

输出一个整数表示答案。

输入输出样例 ：

输入

3
1 2 3

输出

3

题目分析 ：

若用暴力做法，本题应该这样做，通过两重循环对区间内的数两两进行异或操作，并通过res记录其中的最大值，时间复杂度为o(n ^ 2)， 在1e5的数据范围下时间肯定超限，而且本题的最大时间复杂度为O(n log n)。所以对于本题，我们可以用Trie树进行优化，可以这样想，把数据(十进制)转化为二进制，每个Trie树节点储存这个数据不同位的值，因此每个节点只有0和1两种状态，在创建son数组时，应为son[M][2](特别地这里的 M 设定为 3e6 + 1e5 + 7,因为元素 < 2 ^ 31, 所以每个数最多有31位 所以应大于 1e5 * 31)，同时定义cur表示要建立的节点编号(当前到哪一个节点)。然后我们将数据构建Trie树，在insert()函数中，将每个数从高位到低位依次建立节点，如节点已存在则不用创建，具体做法为用一个for循环，i 从 30 开始 (因为每个数最多为31位，没到31位的高位默认为0)，计算当前位(i)是0还是1，即 x >> i & 1 的值，计算出的0或1作为当前节点的子节点，如其子节点不存在即!son[p][ x >> i & 1 ] 则 令son[p][ x >> i & 1 ] = ++ cur表示建立新节点，之后当前节点指针p指向下一个节点(即子节点) p = son[p][ x >> i & 1 ]。上述是数据二进制值Trie数的构建过程，接着我们要根据异或操作的性质，算出每个数据异或后(跟谁异或?)最大值。关于异或操作，如果两个数当前位的数不同(一个是0，一个是1)那么异或后是1，反之则为0，如果两个数每一位都不同，则异或后的值就是最大值。这里我们采取贪心策略 ：从高位开始比较两个数是否每一位数是否相同，如相同，则从当前节点继续移动下一个节点比较下一位，如不同， 则用res记录当前生成的1所在位置(或直接生成值)，从已经找到的那个节点移动到子节点继续向下比较。具体做法为，我们创建一个search()函数, 同样从i = 30开始，循环计算传入数的每一位，如果Trie树种存在与当前位不同的数(一个是0，一个是1)即if(son[p][!s]) 我们用 res 记录异或后生成的值即 res += 1 << i ，然后以找到的此节点为基础继续向下移动p = son[p][!s]，如不存在，则从当前节点移动到下一位p = son[p][s]。详见如下代码。

代码 ：

#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 7, M = 3e6 + 1e5 + 7;
int arr[N], son[M][2], cur;
void insert(int x) {
	int p = 0;
	for (int i = 30; i >= 0; i -- ) {
	 if (!son[p][x >> i & 1]) son[p][x >> i & 1] = ++ cur;
	 p = son[p][x >> i & 1];
	} 
}
int search(int x) {
	int p = 0, res = 0;
	for (int i = 30; i >= 0; i -- ) {
		int s = x >> i & 1;
		if (son[p][!s]) {
			res += 1 << i;
			p = son[p][!s];
		}
		else {
			p = son[p][s];
		}
	} 
	return res;
	
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
	    cin >> arr[i];
	    insert(arr[i]);
	}
	int res = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++ )  res = max(res, search(arr[i]));
	cout << res ;
	return 0;
}

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