二分查找算法详解
1.介绍
二分查找，也称折半查找(Binary Search)，它是一种效率较高的查找方法，实现原理简单，但细节相对复杂的算法。关于二分查找，有个经典的理解，思路很简单，细节是魔鬼 。 二分查找的常用场景一般包括：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而细节，主要体现在，while循环中用 < 还是 <=，mid是否应该加1等。 下面从常用场景，结合 leetcode 题目，简单介绍下。
2. 寻找一个数
这是最简单的二分查找应用场景，即从有序数组中搜索一个目标数。
题目描述
leetcode 704.二分查找
给定一个n个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
题目解析
这个题目即是典型的二分查找，为有序数组中，查找目标值，我们定义 mid 为数组中点，即是比较 nums[mid] 与 tagert 大小：
如果 nums[mid] = target，则下标 mid 即为要寻找的下标；
如果 nums[mid] > target，则 target 只可能在下标 mid 的左侧；
如果 nums[mid] < target，则 target 只可能在下标 mid 的右侧。
代码实现
int search(int* nums, int numsSize, int target) {
int l = 0;
int r = numsSize - 1;
while (l <= right) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (nums[mid] == target)
return mid; // 找到目标值，返回下标
else if (nums[mid] < target)
l = mid + 1;
else if (nums[mid] > target)
r = mid - 1;
}
return -1; //目标值不存在，返回-1
}现在关于细节问题，做下分析理解：
2.1 为什么while循环里要用 <=？
我们注意到，在初始化时，left 值为 0，而 right 值为 numsSize - 1，即最后一个元素的索引为 numsSize - 1，相当于我们的搜索区间为 [left, right]，两端都闭的区间。如果 right初值为 numsSize时，while 循环语句里需要用 <作为条件判断。
2.2 为什么 left = mid + 1 和 right = mid - 1？
如上文描述，我们的搜索区间为 [left, right]，以mid为中点，逐步缩小查找范围，如果在索引 mid里没有找到 target，接下来就要搜索 [left, mid - 1] 和 [mid + 1, right] 区间范围内是否有目标值。
3.寻找左侧边界
题目描述<一>
我们对上面 leetcode 704题目做下修改，在有序数组中，存在元素相等的情况，找到数组中和target相等的 最左侧元素下标
示例:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中 最左侧下标为 4
题目解析 结合上面寻找一个数思路分析，在比较 nums[mid] 与 tagert 大小时，如果 nums[mid] = target，下标 mid 即为要寻找的下标，此时不返回，收缩右侧边界接着找下一个r = mid - 1，其他情况和寻找一个数实现相同。
代码实现
int search(int* nums, int numsSize, int target) {
int l = 0;
int r = numsSize - 1;
while (l <= right) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (nums[mid] == target)
r = mid - 1; // 找到目标值，收缩右侧边界
else if (nums[mid] < target)
l = mid + 1;
else if (nums[mid] > target)
r = mid - 1;
}
if (l < 0 || nums[l] != target)
return -1;
return l;
}题目描述<二>
153. 寻找旋转排序数组中的最小值
已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：
若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]
注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。
给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。
题目解析
l 和 r 指针不断向中间移动，进行二分，则有2种情况：
当前节点 比 r 节点的值小， 即 nums[mid] < nums[r]，则 r 等于 mid；
当前节点大于等于 r 节点的时候，即 nums[mid] >= nums[r]，则让 l 等于 mid + 1；
代码实现
int findMin(int* nums, int numsSize){
int l = 0;
int r = numsSize - 1;
while (l < r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (nums[mid] < nums[r])
r = mid;
else
l = mid + 1;
}
return nums[l];
}4.寻找右侧边界
我们对上面 leetcode 704题目做下修改，在有序数组中，存在元素相等的情况，找到数组中和target相等的 最右侧元素下标
示例:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,9,12], target = 9
输出: 5
解释: 9 出现在 nums 中最右侧下标为 5
题目解析 结合上面寻找一个数思路分析，在比较 nums[mid] 与 tagert 大小时，如果 nums[mid] = target，下标 mid 即为要寻找的下标，此时不返回，收缩左侧边界接着找下一个l = mid + 1，其他情况和寻找一个数实现相同
代码实现
int search(int* nums, int numsSize, int target){
int l = 0;
int r = numsSize - 1;
while (l <= right) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (nums[mid] == target)
l = mid + 1; // 找到目标值，收缩左侧边界
else if (nums[mid] < target)
l = mid + 1;
else if (nums[mid] > target)
r = mid - 1;
}
if (r < 0 || nums[r] != target)
return -1;
return r;
}题目描述
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
题目解析
这道题目，要找到目标值在数组中的开始位置和结束位置，就是找到 左边界和右边界，可以先找左侧边界，再以左边界为起始点，找右边界。
代码实现
/**
* Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
*/
int* searchRange(int* nums, int numsSize, int target, int* returnSize){
int *res = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);
res[0] = -1;
res[1] = -1;
int left = 0;
int right = numsSize - 1;
*returnSize = 2;
/* 找左边界 */
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else if(nums[mid] > target)
right = mid - 1;
else
right = mid - 1;
}
/* 以左边界，为起始，找右边界 */
if (left < numsSize && nums[left] == target) {
res[0] = left;
while (left < numsSize - 1) {
if (nums[left + 1] == target)
left++;
else
break;
}
res[1] = left;
}
return res;
}