分析性质+dp计数：1007T4
http://cplusoj.com/d/senior/p/SS231007D
分析题目性质，有：
- 按编号顺序最短路必然为连续段
- 边只会在连续段内和相邻连续段之间连
- i i i 段 连 i + 1 i+1 i+1 段， i + 1 i+1 i+1 段中每个点恰有1条来自 i i i 的边
然后肯定是考虑 f ( l , r ) f(l,r) f(l,r) 表示最后一段为 [ l , r ] [l,r] [l,r] 的答案，考虑由 f ( k , l − 1 ) f(k,l-1) f(k,l−1) 转移
我们可以求出 [ k , l − 1 ] [k,l-1] [k,l−1] 中有多少个3度点，多少个2度点。然后记 g ( i , x , y ) g(i,x,y) g(i,x,y) 表示下一层有 i i i 个点，这层有 x x x 个2， y y y 个3度点的方案数。可以用类似递归的方法来推：
g ( i , x , y ) = x × g ( i − 1 , x − 1 , y ) + y × g ( i − 1 , x + 1 , y − 1 ) g(i,x,y)=x\times g(i-1, x-1,y)+y\times g(i-1,x+1,y-1) g(i,x,y)=x×g(i−1,x−1,y)+y×g(i−1,x+1,y−1)，也就是考虑最后一个点用2度点还是3度点
所以就有 f ( l , r ) = ∑ k < l f ( k , l − 1 ) g ( r − l + 1 , S 2 ( k , l − 1 ) , S 3 ( k , l − 1 ) ) f(l,r)=\sum_{k
。
我们刚刚计算 g g g 是只考虑块直接的贡献，我们现在要考虑块内的贡献，我们可以计算到 g ( 0 , x , y ) g(0,x,y) g(0,x,y) 里。如果只考虑块内，每个点只能为1度或2度点。我们发现只能长成这个形式：
我们可以分块统计，枚举多少个2成环，记为 h i h_i hi。我们可以枚举最后一个点所在环的大小，然后乘上一个圆排列。
h i = ∑ h j ( i − j − 1 ) ! 2 ( i − 1 j ) h_i=\sum h_j\frac{(i-j-1)!}2\binom{i-1}j hi=∑hj2(i−j−1)!(ji−1)
首先对1要量量匹配，方案有 x ! x 2 ! 2 x 2 \large\frac{x!}{\frac x2!2^{\frac x 2}} 2x!22xx!。然后剩下的2直接插板。也就是 g 0 , x , y = ∑ i = 0 y x ! x 2 ! 2 x 2 ( y i ) h i ( y − i + x 2 − 1 x 2 − 1 ) \Large g_{0,x,y}=\sum_{i=0}^y\frac{x!}{\frac x2!2^{\frac x 2}}\binom y ih_i\binom {y-i+\frac x 2-1}{\frac x 2-1} g0,x,y=∑i=0y2x!22xx!(iy)hi(2x−1y−i+2x−1)
然后往前套即可。
最后一段不会向后连边，所以
a n s = ∑ i = 1 f i , n g 0 , s 2 [ i : n ] , s 3 [ 1 : n ] ans=\sum_{i=1}f_{i,n}g_{0,s2[i:n],s3[1:n]} ans=∑i=1fi,ng0,s2[i:n],s3[1:n]
#include