fir1截止频率计算_如何快速设计一个FIR滤波器(二)

一、理想低通滤波器单位脉冲响应是什么样

在如何快速设计一个FIR滤波器(一)中,我们介绍了一种简单设计FIR的方法——零极点法。这个方法非常简单,稍加培训,用笔和纸就能完成;当然缺点也很显而易见:零极点设计出的滤波器,只能给出大概的频率响应,对于一些要求较高的系统,显得无能为力。今天我们介绍一种更加严谨的方法。

现在假设我们要设计一个低通滤波器,截止频率为

,其理想频率响应可以用如下函数表示:

则该滤波器的脉冲响应为:

可见脉冲响应为一个sinc函数。画出来大概张这个样子:

这个函数非常重要哦,建议都自己手动推导一下,非常有意思,我们把幅值最大的那一瓣称之为主瓣,剩下称之为从瓣,是不是很形象呢?注意主瓣的周期是从瓣的2倍哦。

可能你已经看见了,脉冲响应是由无穷多个——不对呀,我们是想设计一个有限脉冲响应的,结果出现了无穷多个响应,这可如何搞?——既然臣妾做不到把所有的脉冲响应都用上(因为我是有限脉冲滤波器FIR啊),那我只能截取有限一部分进行代替了,也就是——加窗。

窗函数这个东西很不好理解,我们就多花点功夫说说这个事。

二、什么是加窗

现在假设有一个函数,表达式为

,为简单起见,令

,很显然,余弦函数的频域包含两个分量

,即

Hz。

假如我们现在以10Hz的频率进行采样,显然是满足香浓采样定理的,采样脉冲及其频谱如下图:

采样过程就是拿采样信号和原始信号进行乘积,那采样之后的信号长啥样呢?

上图即为采样后的信号及其频谱。注意:此时采样后的信号是在时域无限扩展的,频谱也一样。但实际的计算中是不可能处理无穷多数量的信号的,那怎么办呢?——截短呗,只观察一部分样本行不?貌似我们也没有更好的选择了。

那怎么截短呢?最简单的方式就是矩形函数了,如下图所示:

矩形函数的方法简单粗暴,只保留一部分(幅值为1),其余全部设为0,然后那矩形函数和采样信号相乘,就得到加窗(矩形窗)之后的采样信号了。矩形信号的频谱就是我们熟悉的sinc函数。加窗之后的采样信号及其频谱如下:

加窗后的离散余弦信号可以看成窗函数(矩形,频谱为sinc函数)与余弦离散信号的乘积。那在频域呢就是sinc函数和余弦频谱的卷积。看一个图就明白加窗后的频谱是怎么来的了:

你可能感兴趣的:(fir1截止频率计算)