最少钱币数（凑硬币）详解-2-动态规划算法（初窥）-编程练习题（100）

目录

题目：

分析：

C++动态规划算法代码：

总结：

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这篇使用动态规划算法来解决这个问题，借这篇博客初窥动态规划算法。最少钱币数问题也可以看作多重背包问题。

那么什么是动态规划算法？

动态规划(dynamic programming，DP)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。（思想也有点像分布式处理）

                                                                                                                                  ———From Baidupedia

那么我们如何去描述它？

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。 当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度， 因此它比回溯法、暴力法等要快许多。

                                                                                                                         ——From 从动态规划新手到专家

概念讲完，开始做题。

题目：

最少钱币数

问题描述	这是一个古老而又经典的问题。用给定的几种钱币凑成某个钱数，一般而言有多种方式。例如：给定了 6 种钱币面值为 2、5、10、20、50、100，用来凑 15 元，可以用 5 个 2 元、1个 5 元，或者 3 个 5 元，或者 1 个 5 元、1个 10 元，等等。显然，最少需要 2 个钱币才能凑成 15 元。         你的任务就是，给定若干个互不相同的钱币面值，编程计算，最少需要多少个钱币才能凑成某个给出的钱数。
输入形式	输入可以有多个测试用例。每个测试用例的第一行是待凑的钱数值 M（1 <= M<= 2000，整数），接着的一行中，第一个整数 K（1 <= K <= 10）表示币种个数，随后是 K个互不相同的钱币面值 Ki(1 <= Ki <= 1000)。输入 M=0 时结束。
输出形式	每个测试用例输出一行，即凑成钱数值 M 最少需要的钱币个数。如果凑钱失败，输出“Impossible”。你可以假设，每种待凑钱币的数量是无限多的。
样例输入	15 6 2 5 10 20 50 100 1 1 2 0
样例输出	2 Impossible

分析：

上一篇最少钱币数-1-贪心算法（错，或者叫有问题）-CCF-CSP练习题中使用的贪心算法解决的凑硬币问题，有些情况下是可以得出正解的，比如后一个钱币面值没有达到前一个钱币面值的2倍时；但对于某些情况来说得出的解是错误的。比如有3种面值分别为3元，5元，7元的纸币，（1）那么至少用几张纸币能凑够10元？我的直觉告诉我先选面值最大的，7元一张，然后再选面值5元的时候发现超额了（7+5>10），因此我们选3元一张，最少用2张纸币就能凑够10元，这个时候可以得出正解。这个方法容易想出来，抽象一点可以叫贪心算法（每次都选当前看来最好的选择，不从整体最优考虑），（2）那么至少用几张纸币能凑够8元呢？如果还按照贪心算法来解的话会得到Impossible。因为先选一张7元，然后再选5元（7+5>8）不行，换选3元（7+3>8）还不行。但是仔细看会发现5元+3元不是8元吗，怎么会无解。所以贪心算法解这个问题是不行的。考CSP时只能用来骗点分。

到这里我们发现用贪心算法会出现两个问题 1）本来有解用贪心法算出来却无解，例如上例（2）至少用几张纸币能凑够8元？；2）算出来的解不是最优解，例如有 1元，7元，9元，10元四种面值的纸币，要凑18元 ，贪心算法会给出答案需要3张（10元1张，7元1张，1元1张），但是我们可以明显看出 2张（两张9元）才是答案。

那么问题出在了哪里？在这里用贪心算法是有条件的——后一个的权值（这里就是纸币面值）是前一个的2倍或以上才可以使用，这里10不到9的两倍。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解。关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。在这里我们先选择了10元，在第二步的时候9元就选择不了了（10+9>18了），选择10元这个状态影响到选9元这个状态，所以会错过9+9这个最优解。所以说贪心算法在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，不从整体最优考虑。

这里说了这么多，都是在讨论上一篇，本篇主要讨论正确解法——动态规划算法解题。可能你已经不耐烦了，那么先上一个此问题递推公式（也可以叫做动态转移方程）：（注:v[i]表示可以使用的纸币的面额组成的数组，dp[m]表示要凑m元至少需要多少张纸币。）

dp[m] = min(dp[m-v[i] ]+1,dp[m])

那么这个方程怎么得来的呢？我们先了解一下DP（Dynamic Programing）的基本原理：首先，找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下一个状态的最优解。不明白这个概念没关系，我们以上面的例子为例来分析一下——如果我们有4种面值分别为1元，3元，5元，7元的纸币，那么至少需要几张纸币就能凑出8元？

在分析这个问题之前先来思考一个问题，至少用多少张纸币能凑够m（表示money）元(m<8)呢？为什么要这么问呢？ 动态规划的思想：（1）当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。 （2）这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的， 本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。

现在让我们从规模最小的m开始。当m=0时，即我们需要多少个币来凑够0元呢？ 由于1，3，5，7都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需要0个币。 (em......Interesting，这个分析很傻是不是？别着急，这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。) 为了方便我们用dp[m]=c来表示凑够m元最少需要c个硬币。于是我们就得到了dp[0]=0， 表示凑够0元最小需要0个硬币。当m=1时，只有面值为1元的硬币可用， 因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道的dp[0]=0。所以，dp[1]=dp[1-1]+1=dp[0]+1=0+1=1。当m=2时， 仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的硬币， 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量)，而这个答案也已经知道了。 所以dp[2]=dp[2-1]+1=dp[1]+1=1+1=2。分析到这里，聪明的你可能已经看出端倪，没看出来没关系，接下来让我们看看m=3时的情况。当m=3时我们能用的硬币就有两种了：1元的和3元的( 5元的仍然没用，因为你需要凑的数目是3元，5元面值太大了)。 既然能用的硬币有两种，我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币，我的目标就变为了： 凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即dp[3]=dp[3-1]+1=dp[2]+1=2+1=3。 这个方案说的是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一个3元的硬币， 我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少张纸币。即dp[3]=dp[3-3]+1=dp[0]+1=0+1=1. 这个方案说的是，我拿1个3元的硬币。好了，这两种方案哪种更优呢？ 记得我们的问题是要用最少的硬币数量来凑够3元。所以， 选择dp[3]=1，怎么来的呢？具体是这样得到的：dp[3]=min(dp[3-1]+1, dp[3-3]+1)。

有了上面的分析，这回应该能看出个门道了吧，你可能早已按奈不住了，现在我们就可以从以上分析抽象出我们想要的东西了——递推公式。从以上的文字中， 我们要抽出动态规划里非常重要的两个概念：状态和状态转移方程。

上文中dp[m]表示凑够m元需要的最少硬币数量，我们将它定义为该问题的"状态"， 这个状态是怎么找出来的呢？是根据子问题定义状态。你找到子问题，状态也就浮出水面了。 最终我们要求解的问题，可以用这个状态来表示：dp[8]，即凑够8元最少需要多少个硬币。 那状态转移方程是什么呢？既然我们用dp[m]表示状态，那么状态转移方程自然包含dp[m]， 上文中包含状态 dp[m] 的方程是：dp[3]=min(dp[3-1]+1, dp[3-3]+1)。没错， 它就是状态转移方程，描述状态之间是如何转移的。当然，我们要对它抽象一下，dp[m] = min(dp[ m-v[i] ]+1,dp[m])，其中 m-v[i] >=0，v[i] 表示第i个硬币的面值，方程的含义是拿出一个面值为 v[i] 的硬币后，凑够 m-v[i] 元至少需要的硬币数目（dp[m-v[i] ]）+1和凑够m元至少需要的硬币数目（dp[m]）相比较，取较小的存入dp[m]。

这里可能就会有人问了，为什么还要和dp[m]比较后再存入dp[m]，正如上面的例子，因为我们在凑够m元时，可能有多种可行的方案，我们要比较出哪一种方案所需硬币数目最小。例如在4种硬币1、3、5、7元凑8元的时候会有三种方案，1）8个1元；2）3+5元；3）1+7元。我们得从中找到我们所要的答案。（如果用贪心算法的话可能会错过最优解）

有了动态转移方程，问题基本就算解决了。当然，Talk is cheap,show me the code!

C++动态规划算法代码：

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int coins[10] = {0};   //硬币面值数组，由于题目给出不超过10种，所以我申请了10。
    int money = 0;         //待凑钱的数值*/
    int kind = 0;          //钱币种类数目*/

    while(1)
    {
        cin >> money;
        if(0 == money)break; //结束标志
        int dp[money+1];     //动态规划数组
        dp[0] = 0;           //初始化第一个元素为0，因为要凑0元需要0个钱币
        cin >> kind;         //硬币面值种类数
        for(int k=0; k> coins[k]; //读入硬币面值，存入数组coins[]
        }

        for(int i = 1; i <= money; i++) dp[i] = 99999; //初始化数组dp[],设置dp[i]等于无穷大

        for(int i = 1; i <= money; i++)  //从凑1元开始，一直算到money元为止。
        {
            for(int j = 0; j < kind; j++)
            {
                if(i >= coins[j])
                {
                    dp[i] = min(dp[i- coins[j] ] + 1, dp[i]);
                }
                /*****也可以写成******
                if(i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] + 1 < dp[i])
                {
                    dp[i] = dp[i- coins[j] ] + 1;
                }
                 自己干了，不用麻烦min()函数
                 */
            }
        }
        if( dp[money] == 99999 )
        {
            cout << "Impossible"<< endl;
        }
        else
        {
            cout << dp[money] << endl;
        }

    }
    return 0;
}

 

图1-1 凑0-8元所需最少钱币

如图1-1所示，有4种面值的钱币1元、3元、5元、7元时，从凑0元到凑8元至少所需钱币数。

总结：

使用动态规划算法解决此题时，能全面的考虑到所有情况，从而找到最优解。但是相对于贪心算法来说时间和空间复杂度都会增加。对于这道题，贪心算法的时间复杂度为n，动态规划算法的时间复杂度为N*M（N为钱币种类数，M为金额）。这两个算法有什么区别呢？如图1-2所示。

图1-2 贪心算法和动态规划区别

动态规划算法不是一个具体的算法，动态规划算法要求我们具体问题具体分析。把一个大的问题变为一个和它同质的（除了规模变小，其他都一样）小规模问题。然后推导出递推公式（状态转移方程）。这是关键。那么这个推导递推公式的能力怎么获得呢？

动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不像搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。                                                                                   ——From Baidupedia

最后一点总结，写完东西一定要保存，刚刚去吃饭忘记保存，结果重新写了俩多小时。

参考博文：从动态规划新手到专家