动态规划:leetcode 70.爬楼梯、322.零钱兑换、279.完全平方数

leetcode 70.爬楼梯

leetcode 322.零钱兑换

leetcode 279.完全平方数

leetcode 70.爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

示例 1: 输入: 2 输出: 2 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶

  1. 2 阶

示例 2: 输入: 3 输出: 3 解释: 有三种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶

  1. 1 阶 + 2 阶

  1. 2 阶 + 1 阶

之前用斐波那契数列解决了这道题,现在用背包问题来试一试。

1阶,2阶就是物品,楼顶就是背包。每一阶可以重复使用,例如跳了1阶,还可以继续跳1阶。问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

很容易能看出来这是一个完全背包问题。

动规五部曲:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]:爬到有i个台阶的楼顶,有dp[i]种方法。

  1. 确定递推公式

求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题dp[i]有几种来源,dp[i - 1],dp[i - 2],dp[i - 3] 等等,即:dp[i - j]

那么递推公式为:dp[i] += dp[i - j](本题j最多为2)

  1. dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j],那么dp[0] 一定为1,dp[0]是递归中一切数值的基础所在,如果dp[0]是0的话,其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0,因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的,dp[i]本身为0这样才不会影响结果

  1. 确定遍历顺序

这是背包里求排列问题,即:1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶,但是这两种方法不一样!

所以需将target放在外循环,将nums放在内循环。

每一步可以走多次,这是完全背包,内循环需要从前向后遍历。

  1. 举例dp数组(略)

整体代码如下:

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= 2; j++){
                if(i >= j)
                    dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

leetcode 322.零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1:

  • 输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11

  • 输出:3

  • 解释:11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

  • 输入:coins = [2], amount = 3

  • 输出:-1

无需多言,典型的完全背包问题。与前面的不同之处在于,本题要求的是装满背包的方法中最小的dp值,而上一题是求有多少个装满背包的方法。

动规五部曲:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

  1. 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]],那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j](考虑coins[i])。所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢?

考虑到递推公式的特性,dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

vector dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

  1. 确定遍历顺序

本题求钱币最小个数,那么钱币有顺序和没有顺序都可以,都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。

所以本题的两个for循环的关系是:外层for循环遍历物品,内层for遍历背包或者外层for遍历背包,内层for循环遍历物品都是可以的。

  1. 举例推导dp数组

以输入:coins = [1, 2, 5], amount = 5为例:

动态规划:leetcode 70.爬楼梯、322.零钱兑换、279.完全平方数_第1张图片

整体代码如下:

class Solution {
public:
    int coinChange(vector& coins, int amount) {
        vector dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++){
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                if(dp[j - coins[i]] != INT_MAX){
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        if(dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

leetcode 279.完全平方数

给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ,返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。

示例 1:

  • 输入:n = 12

  • 输出:3

  • 解释:12 = 4 + 4 + 4

示例 2:

  • 输入:n = 13

  • 输出:2

  • 解释:13 = 4 + 9

完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品?

典型的完全背包问题,与上题很像。

动规五部曲:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

  1. 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出, dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0。

看题目描述,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...),题目描述中没说要从0开始,dp[0]=0完全是为了递推公式。非0下标的dp[j]应该是多少呢?

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的,所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

  1. 确定遍历顺序

与上题一样,均可。

  1. 举例推导dp数组

已输入n为5例,dp状态图如下:

动态规划:leetcode 70.爬楼梯、322.零钱兑换、279.完全平方数_第2张图片

整体代码如下:

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j * j <= i; j++){
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

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