动态规划：leetcode 70.爬楼梯、322.零钱兑换、279.完全平方数
leetcode 70.爬楼梯
leetcode 322.零钱兑换
leetcode 279.完全平方数
leetcode 70.爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶
示例 2： 输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶
之前用斐波那契数列解决了这道题，现在用背包问题来试一试。
1阶，2阶就是物品，楼顶就是背包。每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
很容易能看出来这是一个完全背包问题。
动规五部曲：
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]（本题j最多为2）
dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
举例dp数组（略）
整体代码如下：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= 2; j++){
if(i >= j)
dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
}; leetcode 322.零钱兑换
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
无需多言，典型的完全背包问题。与前面的不同之处在于，本题要求的是装满背包的方法中最小的dp值，而上一题是求有多少个装满背包的方法。
动规五部曲：
确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）。所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
vector dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0; 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的。
举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例：
整体代码如下：
class Solution {
public:
int coinChange(vector& coins, int amount) {
vector dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for(int i = 0; i < coins.size(); i++){
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
if(dp[j - coins[i]] != INT_MAX){
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
if(dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
}; leetcode 279.完全平方数
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
典型的完全背包问题，与上题很像。
动规五部曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。非0下标的dp[j]应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
确定遍历顺序
与上题一样，均可。
举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：
整体代码如下：
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for(int i = 0; i <= n; i++){
for(int j = 1; j * j <= i; j++){
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
}
}
return dp[n];
}
};