洛谷P8312[COCI2021-2022#4] Autobus

题目描述

在一个国家里有 $n$ 座城市。这些城市由 $m$ 条公交线路连接，其中第 $i$ 条线路从城市 $a_i$ 出发，到 $b_i$ 停止，路程中耗时 $t_i$ 分钟。

Ema 喜欢旅行，但她并不喜欢在公交线路之间换乘。在旅行过程中，她希望最多只需坐 $k$ 个不同的公交线路。

Ema 想知道，从城市 $c_i$ 到城市 $d_i$ 的最短旅行时间是多少（最多坐 $k$ 个不同的公交线路）。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,m$，分别表示城市的数量和公交车线路的数量。

接下来 $m$ 行，第 $i+1$ 包含三个整数 $a_i,b_i,t_i$，分别表示第 $i$ 条公交车线路的起点、终点和从起点到终点所需的时间。

接下来一行包含两个整数 $k,q$，最大坐的不同公交线路的个数和问题题的个数。

接下来 $q$ 行，第 $m+j+3$ 行包含两个整数 $c_j,d_j$，表示询问从城市 $c_j$ 到城市 $d_j$ 的最短旅行时间。

输出格式

输出包含 $q$ 行，第 $i$ 行包含一个整数，表示从城市 $c_i$ 到城市 $d_i$ 的最短旅行时间。

样例 #1

样例输入 #1

4 7
1 2 1
1 4 10
2 3 1
2 4 5
3 2 2
3 4 1
4 3 2
1 3
1 4
4 2
3 3

样例输出 #1

10
-1
0

样例 #2

样例输入 #2

4 7
1 2 1
1 4 10
2 3 1
2 4 5
3 2 2
3 4 1
4 3 2
2 3
1 4
4 2
3 3

样例输出 #2

6
4
0

样例 #3

样例输入 #3

4 7
1 2 1
1 4 10
2 3 1
2 4 5
3 2 2
3 4 1
4 3 2
3 3
1 4
4 2
3 3

样例输出 #3

3
4
0

提示

【样例解释】

每个样例中的答案都已经标记在图中。

【数据规模与约定】

本题采用子任务捆绑测试。

• Subtask 1（15 pts）：$k\le n\le 7$。
• Subtask 2（15 pts）：$k\le 3$。
• Subtask 3（25 pts）：$k\le n$。
• Subtask 4（15 pts）：没有额外限制。

对于 $100\%$ 的数据，$2\le n\le 70,1\le m,t_i\le 10^6,1\le a_i,b_i,c_j,d_j\le n,1\le k\le 10^9,1\le q\le n^2$。

【提示与说明】

本题分值按 COCI 原题设置，满分 $70$。

题目译自 COCI2021-2022 CONTEST #4 T2 Autobus。

题解

这道题第一眼看过去就像一个最短路，但是加了限制条件：最多坐 k 个线路。那么我们就从最短路入手，我们知道，有很多求最短路的方法，我原本想用效率优秀一点的方法，但是想了一会儿又被自己否决了，因为我发现它们都不太适合这道题（根本原因还是自己太菜了），最终我选择了求全源最短路的弗洛伊德（效率为$O(n^3)$），毕竟 n 的范围真的很小。

第二个要解决的问题是对 k 的限制，听大佬讲的可以用广义矩阵快速幂，效率为$O(n^{3}logn)$但是我比较拉胯，只能写第二种，就是在弗洛伊德外再套上一层循环，从 2 ~ k 枚举，但是要注意k的范围比较大，所以要取$min（k，n）$，再用两个数组分别存下上次和这次的答案，最后判断一下输出就行,效率稍差一点，是$O(n^4)$。
相信弗洛伊德应该都会打，我就不细讲了，就讲一下注意事项好了。

注意

因为数组开的是二维，所以建议要用循环赋值，用memset容易出问题（亲测出锅，改了好久，原本的代码都面目全非了），我的用memset的程序只拿了40分，不过也可能是因为我太弱了才出问题。

还有就是判断的时候因为起点和终点可以相等，所以要特判。

代码

#include
#include
#include
#define maxn 1000010
using namespace std;
template<typename T>void read(T &x){
	x=0;
	char c=getchar();
	T neg=0;
	while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
	while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	if(neg) x=(~x)+1;
}
long long n,m,k,q;
long long xy[80][80];
long long xxy[80][80],xxyy[80][80];
inline long long minn(int x,int y){
	return x<y?x:y;
}
inline void floyd(){
	k=min(k,n);
	for(int kk=2;kk<=k;kk++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				xxyy[i][j]=xxy[i][j];
			}
		}
//		memcpy(xxyy,xxy,sizeof(xxyy));
		for(int l=1;l<=n;l++){
			for(int i=1;i<=n;i++){
				for(int j=1;j<=n;j++){
					xxyy[i][j]=minn(xxyy[i][j],xxy[i][l]+xy[l][j]);
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				xxy[i][j]=xxyy[i][j];
			}
		}
//		memcpy(xxy,xxyy,sizeof(xxy));
	}
}
int main(){
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			xy[i][j]=0x3f3f3f3f;
		}
	}
//	memset(xy,0x3f3f3f3f,sizeof(xy);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		long long a,b;
		int t;
		read(a),read(b),read(t);
		xy[a][b]=minn(xy[a][b],t);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			xxy[i][j]=xy[i][j];
		}
	}
//	memcpy(xxy,xy,sizeof(xxy));
	read(k),read(q);
	floyd();
	while(q--){
		long long c,d;
		read(c),read(d);
		if(c==d){
			printf("0\n");
		}
		else if(xxy[c][d]==0x3f3f3f3f){
			printf("-1\n");
		}
		else printf("%d\n",xxy[c][d]);
	}
	return 0;
}