金融二叉树模型-给期权定价

在写了一堆常微分分方程之后，我们现在也来了解了解金融行业的二叉树定价模型吧（反正本地在跑数据也没事可做~）

实验目标

假设一只股票的当前t=0时刻为20元，一个月后的价格可能是22元或者18元(记这时t=T)，在t=0时刻，购买一张一个月到期， 执行价格为20元的看涨期权，假设股票不支付红利，在[0,T]时段内存款年利率为6%，问需要支付的期权金应为多少？

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我们现在根据已知的信息，有没有可能构造出一种不管最后结果是上涨还是下跌，我们最后的投资组合的价值都是一样的。也就是这个投资组合在一个月后，不管股票是上涨还是下跌， 都是不会赚钱且不会亏钱的。

这个投资组合是长这样子的：

Φ=S−2C

其中 S 表示做多一份股票，−2C 表示2份空头买权（也就是把买的权利卖了出去，所以股票如果跌的越厉害，就能赚钱，因为跌的话，对方的权利就不会实施，因为它还不如以市场价买入）。

我们现在来考虑一下，如果股票上涨到22元，则我们赚了2元，但是我们的期权为亏钱，对方可以以20元的执行价买入2份股票，这意味着我们将会亏4元，也就是这个投资组合在一个月后的总价值为22-2*2=18元。

如果股票下跌到18元的话，那我们的期权那块是没亏钱的，因为对方因为更愿意以市场价格买入股票所以不会执行权利这部分的收益为0，但是由于股票我们亏钱，所以这个资产组合的总价值还是18元。

如此我们便构造出了一个关于股票S的投资组合 Φ ，不管是涨还是跌，这个投资组合 Φ 的价值都是18元。又这段时间的存款年利率为6%，如果我们在t=0的时候将一笔钱B=17.91元存入银行，那么我们在一个月后就可以获得18元钱，

所以我们构造的这个投资组合在t=0时候的价值

S0−2C(0)=B

故我们要求的衍生品的价格

C(0)=B−S02

总结一下思路就是通过构造出一个不管是涨还是跌的投资组合，然后计算出其不变的价值，使用无风险利率折现到现在，然后，再利用现在的投资组合的价值和现在股票的价值即可计算出现在衍生品的价格。

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多时期二叉树模型的符号说明

u ：表示如果下一期的价格上涨幅度，即假设现价为S0，则下一时期上涨之后的价格为 uS0
d ：就是表示下一期的价格下跌幅度，用法和u类似

emmm，那么现在u和d是已知的，假设我们一共考虑3期，我们现在先从第二期考虑，我们是知道股票在二期的两种可能的价格，我们能否计算出在这两种可能价格的时候衍生品的价值。是可以的，只需使用两次单步二叉树模型即可，然后我们再反推会在第一期时衍生品的价格。就可以了。