实变函数---不可测集的一个例子

导言

点集并非全都是不可测集。

回顾

可测集的概念，如果有集合 T 满足以下公式，

m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)

则称集合 E 是Lebesgue可测集。其中T 被称为试验集，所有可测集的全体记作 μ
如图所示：

其中， m∗(T) 的定义为：

m∗=inf{∑i=1∞|Ii|，T⊂⋃i=1∞Ii}

正文

现在我们将努力构造一个不可测的集合 W

材料准备：

1. 选择公理

   “若Γ是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合X，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成”

   • 等价关系

     需要满足自反，对称和传递
     即X~X
     若X~Y，则Y~X
     若X~Y，Y~Z，则X~Z

   • 开始构造

     现在首先将 Rn 中，具有等价关系的集合分为一类，则可以得到很多个等价类，然后我们再使用选择公理，从每一类中选择一个元素，构成点集 W ，那么这个W就是我们要的不可测集，接下来说明为什么这样的 W 是不可测集。

     解释说明

     如果W是可测集，有两种可能 m(W)>0 或者 M(W)=0 。

     定理准备：

     2.19 设 E 是Rn中的可测集，且 m(E)>0,0<λ<1 ，则存在矩体 I 使得
     

     λ|I|<m(I∩E)

     
     

     不难想象，无论 λ 如何取值，我都可以找到一个 I ，使得这个等式成立。即找到一个矩体，使得这个矩体与该矩体与E交的部分的差距可以任意小。

     2.20 设 E 是Rn中的可测集，且 m(E)>0 ，做点集：
     

     E−E:{x−y,x,y∈E}

     则存在 δ0>0 ，使得 E−E⊃B(0,δ0)
     即两个集合相减得到的点集有界。

     推导：
     m(W)>0 的情况

     那么，在这里我们发不难发现，我们的 W 满足2.20的条件，所以W−W含在一个球体 B(0,δ) 之中，考虑集合 (W−W)∩Qn ，其中肯定有非0的元素 x ，因为W−W中是包含了一个球体的，而这个球体和 Qn 一定会有相交的地方。从而有在 W−W 中有非零的x存在。

     这也就是说，在 W 中，有y和z，x=y-z，所以有y≠z，也就是说，其中有y和z的差是有理数，那么y和z就应该在同一个等价类之中，从而在构建 W 的时候，就要么有y，要么有z，而不可能同时存在！

     m(W)=0的情况

     在这种情况时，我们考虑能否将 W 扩展到Rn。
     构造可列个平移集：
     

     W+{r(1)},{r(1),r(2),...,r(k),...}=Qn
     
     显然有：
     
     Rn=⋃k=1∞(W+{r(k)})
     
     注意这里，后面的这个 W+{r(k)} 其实是将所有的等价类还原。
     先从 W 中选取出一个元素x0，它显然是一个等价类 D0 的代表元，任何的 y0∈D0 都有 y0−x0=r(0)∈Qn ，这时 y0=x0+r(0) ，而如果我们要将所有以 x0 为代表元的等价类都表示出来的话，就要用 {x0}+Qn ，而这里我们使用 W+Qn 就可以表示出所有的等价类，并且求并之后，得到的就是 Rn

     这是因为显然将所有的等价类都并在一起之后，得到的就是 Rn ，因为如果并在一起不为 Rn 的话，那么 Rn 的非等价类部分的元素，自己就可以构成一个等价类。

     综上所述，这样的$W$显然真的就是一个不可测的集合。