⭐算法入门⭐《二分枚举》简单10 —— LeetCode 441. 排列硬币

一、题目

1、题目描述

  你总共有 n 枚硬币，并计划将它们按阶梯状排列。对于一个由 k 行组成的阶梯，其第 i 行必须正好有 i 枚硬币。阶梯的最后一行 可能 是不完整的。给你一个数字 n ，计算并返回可形成 完整阶梯行 的总行数。
  样例输入： num = 5
  样例输出： 2

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int arrangeCoins(int n){}

3、原题链接

LeetCode 441. 排列硬币

二、解题报告

1、思路分析

  考虑函数 $f(x)=x\ast (x+1)/2$，当 $x$ 递增时，函数的值递增，所以它是一个单调函数。给定一个 $n$ 我们需要找到的是 $f(x)\le n$ 的最大的 $x$，所以确定绿色部分应该是 $f(x)>n$ 的部分。而最终求得的应该是红色边界的右边界。

2、时间复杂度

  总的时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$。

3、代码详解

#define ll long long


/************** 二分查找 值类型 模板 **************/
/*

  1）传参的区间满足：红红红红红红红红绿绿绿绿绿绿绿； 
  2）返回值：绿色区段的左边界； 
*/

int isGreen(int val, int x);

int binarySearch(int l, int r, int x) {
    int mid;
    while(l + 1 < r) {
        mid = l + (r - l) / 2;
        if( isGreen(mid, x) )
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    return r;
}
/************** 二分查找 值类型 模板 **************/



/*
    例如： 

    1 2 3  4  5  6  7
    1 3 6 10 15 21 28 ...
    红色区域 | 绿色区域
*/
int isGreen(int val, int x) {
    return (ll)val * (val+1) / 2 > x;    // (1)
}

int arrangeCoins(int n){
    if(n == 1) {
        return 1;                        // (2)
    }
    return binarySearch(1, n, n) - 1;    // (3)
}

• $(1)$ 绿色部分；
• $(2)$ 区间长度为1特殊处理；
• $(3)$ 返回右边界，所以减一；

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三、本题小知识

   单调函数一般可以优先考虑 二分查找。

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