AcWing 892 台阶-Nim游戏

题目描述：

现在，有一个n级台阶的楼梯，每级台阶上都有若干个石子，其中第i级台阶上有ai个石子(i≥1)。

两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中（不能不拿）。

已经拿到地面上的石子不能再拿，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数n。第二行包含n个整数，其中第i个整数表示第i级台阶上的石子数ai。

输出格式

如果先手方必胜，则输出“Yes”。否则，输出“No”。

数据范围

1≤n≤10^5,1≤ai≤10^9

输入样例：

3
2 1 3

输出样例：

Yes

分析：

首先分析下题意，每个人可以进行的操作是从台阶上往下一级台阶上拿石子，当一个人面临的局面是仅有第一级台阶上还有石子时，他把石子全部拿到地面，就获胜了。如果就石子数目的异或和而言，从上一级往下一级台阶上拿石子，有的石子数目增加，有的数目减少，不好分析。不妨分奇偶讨论。从奇数台阶向偶数台阶上拿石子，奇数台阶石子数目减少，偶数台阶石子数目增加，地面可以看作是0级台阶，从偶数台阶向奇数台阶拿石子情况相反。最后一步操作是从1级向地面拿石子，最终情况是奇数级台阶上没有石子，所有石子都被放到0级台阶也就是地面了。我们要保证的是不论后手怎么操作，最后一步操作只能是先手完成的，即奇数台阶上石子数目的异或和由非0转化为0是先手操作的。换而言之，只要先手面对的是奇数级台阶上石子数目的异或和是非0的状态，先手必胜。由于初始奇数级台阶石子数目异或和非0，根据Nim游戏的定理知，先手有办法从奇数级台阶上拿走部分石子放到偶数级台阶上使得奇数级台阶石子数目异或和变成0。接下来是后手操作，如果后手从偶数级台阶上拿石子放到奇数级台阶上，先手就把他拿的石子原样的顺移到下一级台阶中使得奇数级台阶石子数目异或和变成0；如果后手从奇数级台阶上拿石子放到偶数级台阶上，此时奇数级台阶石子数目异或和必定非0，先手就用Nim游戏的办法使奇数级台阶石子数目恢复为异或和为0的状态。故最终面临没有石子可以移动状态局面的人是后手。

#include 
using namespace std;
int main(){
    int n,x,res = 0;
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin>>x;
        if(i % 2)   res ^= x;
    }
    if(res) puts("Yes");
    else    puts("No");
    return 0;
}