寻找两个有序数组的中位数（C++）

先来了解一下割：

我们通过切一刀，能够把有序数组分成左右两个部分，切的那一刀就称为割(cut)，割的左右会有两个元素，分别是左边最大值和右边最小值。

我们定义：LMax = Max(LeftPart), RMin = Min(RightPart)。

       割可以割在两个数中间，也可以割在一个数上，如果割在一个数上，那么这个数既属于 左 边，也属于右边。

奇数组：[2 , 3 , 5] 对应的中位数为 3 ，假定割( cut )在3上, 我们可以把 3 分为 2 个：[2  (3/3)  5]，因此：LMax = 3 ， RMin = 3

偶数组：[1 4 7 9] 对应的中位数为 (4 + 7) /2 = 5.5 ，假定割( cut )在4和7之间：[1  (4/7)  9]，因此：LMax = 4 ，RMin = 7.

割和第k个元素：

一个数组：

对于一个有序数组A，如果在k的位置割(cut)一下(不是割( cut )在两数中间)，那么LMax = RMin = A[k].

两个数组：

也就是我们题目的状态，我们要求两个数合并成一个有序数组，第k位的元素

我们设：

Ci 为第 i 个数组的割。

LMaxi为第i个数组割后的左元素。

RMini为第i个数组割后的右元素。

首先，LMaxi <= RMini 这是肯定的。

其次，如果我们让LMax1 <= RMin2 ,LMax2 <= RMin1 呢，那么两个数组的左半边全小于右半边，如果左边的元素个数相加刚好等于k，那么第k个元素就是Max(LMax1, LMax2)。

那么如果 LMax1 > RMin2 , 说明数组1的左边元素太大，我们把C1减小， C2= k - C1也就相应增大；LMax2 > RMin1同理，把C2减小， C1 = K -C2 也就相应的增大。

假设 K = 3

 对于

        [2  3   5]

        [1  4  7  9]

设 C1 = 1 ，那么 C2 = k - C1 =2 ,即：

        [2  /  3   5]

        [1  4  / 7  9]

这时， LMax1 =2 ，RMin1 = 3 ，LMax2 = 4 ，RMin2 = 7，从而有LMax2 > RMin1 ,依据前面的推论，我们要将C1增大，所以我们让 C1 = 2 ，如下：

        [2  3 /   5]

        [1  /4  7  9]        

这时， LMax1 =3 ，RMin1 = 5 ，LMax2 = 1 ，RMin2 = 4，满足LMax1 ＜ RMin2 ，LMax2 < RMin1 ，所以第3个元素为 Max(LMax1 , LMax2) = 3。

两个数组的最大问题是，他们合并后，m+n总数可能为奇，也可能为偶，所以我们得想办法让m+n总是为偶数。

通过虚拟加入 “#” , 我们让m转换成2m + 1 ，n转换成2n+1,两数之和就变成2m+2n+2,为偶数。要注意的是 ，我们这里是虚拟加，其实根本没有这一步，通过下面的转换，我们可以保证虚拟加后每个元素跟原来的元素一一对应:

        [#  2 # 3 #  5  #]

        [# 1 # 4 # 7 # 9 #]。

这样虚拟加之后，每个位置可以通过/2得到原来元素的位置。

而对于割( cut )而言，如果割在 “ #  ” 上等于割在 2 个元素之间，割在数字上等于把数字划到2个部分，总是有以下成立：

        LMaxi = (Ci - 1) / 2 位置上的元素

        RMini = Ci /2位置上的元素.

剩下的事情就好办了，把 2 个数组看做一个虚拟的数组A，A有2m+ 2n + 2个元素，割在m+n+1处，所以我们只需要找到m+n+1位和m+n+2位元素即可。

左边：A[m+n+1] = Max(LMax1 , LMax2)

右边：A[m+n+2] = Min(RMin1 , RMin2)

==> Mid  = (A[m+n+1]+A[m+n+2])/2

最快的割( cut )是二分法, 有两个数组，我们对那个做二分呢？根据之前的分析，我们知道了，只要C1或C2确定，另一个也就确定了。这里为了效率，我们肯定要选长度较小的进行二分，有二分递归公式：

        LMax1 >RMin2 , 把C1减小，C2增大.  ->C1向左二分。

        LMax2 >RMin1,  把C2减小，C1增大。->C1向右二分。

如果C1或C2到头了怎么办？我们假定 n < m，可能有4种情况：

        C1 = 0 ——  数组1整体都在右边了，所以都比中值大，中值在数组2中，简单的说就是数组1割后的左边是空了，我们可以假定LMax1 = INT_MIN

        C1 =2n——  数组1整体都在左边了，所以都比中值小，中值在数组2中，简单的说就是数组1割后的右边是空了，我们可以假定RMin1 = INT_MAX

        C2 = 0 ——  数组2整体都在右边了，所以都比中值大，中值在数组1中，简单的说就是数组1割后的左边是空了，我们可以假定LMax2 = INT_MIN

        C2 = 2m ——  数组1整体都在左边了，所以都比中值小，中值在数组1中，简单的说就是数组1割后的右边是空了，我们可以假定RMin2 = INT_MAX