三相有功无功电流检测方法

三相有功无功电流检测方法

1. p-q检测法

(1) 三相系统中有功无功定义

  自从赤木泰文老哥提出了三相瞬时无功功率理论，检测界迎来了春天。不同于单相系统中有功无功的定义，三相系统的有功无功定义应转化到αβ平面上。下面我将简要分析一下。
$$\left[\begin{array}{c}{e}_{\alpha }\\ e_{\beta }\end{array}\right]=C_{32}\left[\begin{array}{c}{e}_a\\ e_b\\ e_c\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=C_{32}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$
式中：$C_{32}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$
  在$\alpha \beta$平面上，将$e_{\alpha },e_{\beta }$合成为电压矢量$e$，将$i_{\alpha },i_{\beta }$合成为电流矢量$i$，即
$$\begin{gathered} e=e_{\alpha }+e_{\beta }=e\angle {\varphi }_e \\ i=e_{\alpha }+i_{\beta }=e\angle {\varphi }_i \end{gathered}$$
  其矢量分解图如图1所示：

  其中$\varphi ={\varphi }_e-{\varphi }_i$，满足一下表达式：
$$\begin{gathered} i_p=i\cos \varphi \\ {i}_q=i\sin \varphi \\ p=e{i}_p \\ q=e{i}_q \\ {C}_{pq}=\left[\begin{array}{cc}{e}_{\alpha }& e_{\beta }\\ e_{\beta }& -e_{\alpha }\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{e}_{\alpha }& e_{\beta }\\ e_{\beta }& -e_{\alpha }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=C_{pq}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right] \end{gathered}$$
这里的$p$和$q$就是三相电路的瞬时有功功率和无功功率。

(2) p-q检测原理

  假定电压三相对称不含谐波，而电网电流三相对称含谐波，波形表达式如下：
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{e}_a=\sqrt{2}E\sin wt\\ e_b=\sqrt{2}E\sin (wt-\frac{2\pi }{3})\\ e_c=\sqrt{2}E\sin (wt+\frac{2\pi }{3})\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{i}_a=\sqrt{2}{I}_n{\sum }_{n=1}^n\sin (nwt+{\varphi }_n)\\ i_b=\sqrt{2}{I}_n{\sum }_{n=1}^n\sin [n(wt-\frac{2\pi }{3})+{\varphi }_n]\\ i_c=\sqrt{2}{I}_n{\sum }_{n=1}^n\sin [n(wt+\frac{2\pi }{3})+{\varphi }_n]\end{array} \end{gathered}$$
由$\left[\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{e}_{\alpha }& e_{\beta }\\ e_{\beta }& -e_{\alpha }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$可求出$p$ 和$q$，其含有直流分量和交流分量，并非一个正弦波。经过低通滤波器可获取其直流分量，也就是有功功率$\overline{p}$和无功功率$\overline{q}$。其表达式如下：
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}\overline{p}\\ \overline{q}\end{array}\right]=3E{I}_1\left[\begin{array}{c}\cos (-{\varphi }_1)\\ \sin (-{\varphi }_1)\end{array}\right] \\ {C}_{23}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}{i}_{af}\\ i_{bf}\\ i_{cf}\end{array}\right]=C_{23}{C}_{pq}^{-1}=\sqrt{2}{I}_1\left[\begin{array}{c}sin(wt+{\varphi }_1)\\ sin(wt-\frac{2\pi }{3}+{\varphi }_1)\\ sin(wt+\frac{2\pi }{3}+{\varphi }_1)\end{array}\right] \end{gathered}$$第三个表达式就是电网电流的基波分量。此方法当三相不对称或电压波形畸变时不能够准确检测出有功电流和无功电流 。

---

2. d-q检测法

(1) Clark变换和Park变换

  众所周知，交流电机三相对称的静止绕组 A 、B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速 $\omega$ （即电流的角频率）顺着 A-B-C 的相序旋转。abc轴等效模型如图所示。两相绕组 $\alpha$ 和 $\beta$ ，它们在空间$90^{\circ }$，通以时间上互差$90^{\circ }$的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势 F 。 当两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图b的两相绕组与图a的三相绕组等效。 $\alpha \beta$ 轴等效模型如图所示。两个匝数相等且互相垂直的绕组 d 和 q，其中分别通以直流电流 id 和iq，产生合成磁动势 F ，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。
  在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组$\alpha \beta$之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称 3/2 变换或Clark变换。下面是等功率变换，即变换前后功率不变，如果要求等幅值变换，只需将$\sqrt{\frac{2}{3}}$修改为$\frac{2}{3}$即可。
  下图是$\alpha \beta$轴和$dq$轴的关系。但$\alpha \beta$轴是静止的，$\alpha$ 轴与 $d$ 轴的夹角$\theta$ 随时间而变化，因此 is 在$\alpha \beta$轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，$i_{\alpha }$ ，$i_{\beta }$ 和 $i_d$、$i_q$ 之间存在下列关系
$$\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$$
  此处特别注意，该变换（又称Park变换）中$\cos \theta$，$\sin \theta$以及正负号，是不固定的，他们和d轴q轴的选择有关，所以使用前请注意其dq轴的定义。

(2) dq检测法

  dq检测法的核心就是Park变换和Park反变换。Park变换分为等量变换和等功率变换，其中等量变换前后电压电流矢量在变换的前后是相等的。并且abc-dq的变换矩阵等于变换矩阵abc-αβ和变换矩阵αβ-dq的乘积，其变换矩阵为

等功率变换前后三相功率不变，其变换矩阵为

下面以等量变换为例，说明一下dq检测法。假设三相电压分别是$Usin(\omega t+\varphi )$，$Usin(\omega t-120^{\circ }+\varphi )$，$Usin(\omega t+120^{\circ }+\varphi )$。三相电压经过dq变换可得其有功分量和无功分量。

$$\left[\begin{array}{c}{U}_d\\ U_q\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}U\cos \varphi \\ U\sin \varphi \\ 0\end{array}\right]$$
三相电流的变换与三相电压一致。三相的有功功率$p=u_d{i}_d+u_q{i}_q$。d-q检测法在电压畸变的情况下仍能完成有效检测，更加先进，但是dq轴的选择和等幅值等功率选择直接影响了Park变换的矩阵（可以判断一下MATLAB中的Park变换矩阵），这一点请务必注意。simulink的dq轴相对于书上滞后了90度。所以simulink的q轴是书上的d轴，而其d轴则是书上的q轴取反，而且是等幅值变换，并且$\theta$的定义也变了，在仿真时一定要小心。如下图。

参考资料

几种DQ变换不同形式比较
Clark变换与Park变换

反馈与建议

• 邮箱：[email protected]