数据结构笔记 第四章 树和二叉树

树

树状图是一种数据结构，它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做"树"是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点:

每个节点有零个或多个子节点;没有父节点的节点称为根节点;每一个非根节点有且只有一个父节点;除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树;
树(tree)是包含n(n>0)个结点的有穷集，其中:

(1)每个元素称为结点(node);

(2)有一个特定的结点被称为根结点或树根(root)。

(3)除根结点之外的其余数据元素被分为m(m≥0)个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)本身也是一棵树，被称作原树的子树(subtree)。

树也可以这样定义:树是由根结点和若干颗子树构成的。树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个结点具有特殊的地位，它位于最高层，是所有下一层结点的父结点。这个结点称为该树的根结点，或称为树根。

我们可以形式地给出树的递归定义如下:

1、单个结点是一棵树，树根就是该结点本身。

2、如果一个结点p的所有子节点都是子树的根，那p也是一个树根。

3、空集合也是树，称为空树。空树中没有结点。

种类：
无序树:树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树,也称为自由树;

有序树:树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树;

二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;

完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。

满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶结点都处在最底层的二叉树,

霍夫曼树:带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;
深度
定义一棵树的根结点层次为1，其他节点的层次是其父结点层次加1。一棵树中所有结点的层次的最大值称为这棵树的深度。

编辑本段表示方法
图像表达法
树的表示方法有很多种，最常用的是图像表示法。

一下是一个普通的树(非二叉树):

符号表达法
用括号先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理;同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。如前文树形表示法可以表示为:(1(2(5(9，10))，3(6，7)，4(8)))

遍历表达法

遍历表达法有3种方法:先序遍历、中序遍历、后序遍历

例如右图:

其先序遍历为ABDECF

其中序遍历为DBEAFC

其后序遍历为DEBFCA

## 二叉树
在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆或是二叉排序树。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2的 i -1次方个结点；深度为k的二叉树至多有2^(k) -1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数(即叶子结点数)为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。

树是由一个或多个结点组成的有限集合，其中：

⒈必有一个特定的称为根(ROOT)的结点；

⒉剩下的结点被分成n>=0个互不相交的集合T1、T2、…Tn，而且， 这些集合的每一个又都是树。树T1、T2、…Tn被称作根的子树(Subtree)。

树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树

1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为2;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。除根结点外的分枝结点统称为内部结点。

2.树的深度——组成该树各结点的最大层次。

3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；

4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：

(1)空二叉树——(a)；

二叉树
二叉树
(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；

(3)只有左子树——©；

(4)只有右子树——(d)；

(5)完全二叉树——(e)