如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?

目录

1. 自相关函数:

2.功率谱密度 /能量谱密度

 什么是 能量信号? 什么是 功率信号?

什么是 能量谱密度? 什么是 功率谱密度?

3.自相关函数 与 能量谱密度/功率谱密度 的关系?

4.周期性的功率信号的 功率谱是离散的


如何理解功率谱密度/能量谱密度?他们与自相关函数的关系?

能量 = 功率 * 时间, 即等于功率在时间上的积分

对于一个能量信号,其 能量 = 能量谱密度 在 谱(即频域)上的积分。可以理解为,信号的能量分布在不同的频率上面,把所有频率上的能量谱 叠加 就得到了 能量。由于 能量信号在 无限长时间内的 能量是一个 有限值 E, 那么其平均功率 P=\lim_{T \to \infty}\frac{E}{T} 应该是一个趋于 0 的值。而功率谱密度是功率 在各个频率上的分量, 总的为0分量自然更为0了, 因而能量信号不存在 功率谱密度,只有能量谱密度。

对于一个功率信号,其 功率 = 能量谱密度 在 谱(即频域)上的积分。可以理解为,信号的功率分布在不同的频率上面,把所有频率上的功率谱 叠加 就得到了 功率。 由于 功率信号在 无限长时间内的 功率是一个 有限值 P, 那么其总能量应该是一个趋于无穷 的值。 因而其没有能量谱密度,只有功率谱密度。

结论: 能量谱密度是

一个能量信号自相关函数的傅里叶变换等价于它的能量谱密度,一个功率信号自相关函数的傅里叶变换等价于它的功率谱密度。  即Wiener-Khinchin theorem。

即 信号的自相关函数与 功率谱/能量谱密度之间成 傅里叶变换对。

请参阅  Wiener-Khinchin theorem - 知乎 (zhihu.com)

想要理解这句话,我们 需要了解 三个名词(自相关函数 & 能量谱密度/功率谱密度),一个操作(傅里叶变换)。 

1. 自相关函数:

 对于一个信号s(t)自相关函数的定义:

R(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} s(t) s(t-\tau) d t=\int_{-\infty}^{+\infty} s(t) s(t+\tau) d t

2.功率谱密度 /能量谱密度

想要理解 功率谱密度 和能量谱 密度的前提是  明白

 什么是 能量信号? 什么是 功率信号?

请参照 (4 封私信 / 7 条消息) 功率谱密度如何理解? - 知乎 (zhihu.com)icon-default.png?t=N7T8https://www.zhihu.com/question/29520851

要理解 什么是信号的功率?信号的功率定义如下:

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第1张图片

为什么这么定义呢?

定义来源于电路的功率计算,但是假设电路的电阻是1 欧姆,在此情况下,

Pr=UI = U^2=I^2 (因为 R =1 \Omega ,U=IR=I)

有了功率的定义,那么怎么计算能量呢?(能量=功率*时间)

Ex=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x^2(t)dt

如果把T 放宽到无限时间,则 

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第2张图片

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第3张图片

若第一个极限E存在,即称为能量信号;

若第二个极限P存在,则称为功率信号

OK,到这里 首先我们 明白了 能量信号和功率信号的含义。 要说明的一点是 一个信号可以既不是能量信号,也不是功率信号,但不可能既是能量信号,又是功率信号。

什么是 能量谱密度? 什么是 功率谱密度?

由于功率信号具有无穷大的能量,所以按照能量E的公式,这个积分是不存在的。

但是我们可以把这个信号截断成小块。

把信号s(t)截断成一个截短信号sT(t),-T/2

这样sT(t)就是一个能量信号了,我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(f)|^2

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第4张图片

其中,G(f)是 能量信号的能量谱密度; P(f)是功率信号的功率谱密度。

请仔细看图中的公式, 对于能量信号,求的是 整个时间域上的能量 E,因为在整个时间域上其能量有限,所以是可以求得的; 对于 功率信号,求得是 一个截断时间T的 能量  ET, 因为功率信号在整个时间域上其能量无限,所以是不可以求得的,只能求一个时间内的信号。

对于E/ET,自我理解: 对于 能量等于 功率在 时间域的积分, 也等于 能量谱密度 在 频域的积分。 功率 等于 功率谱密度 在频域上的 积分。

能量是守恒的,不会管你变换来、变换去。所以,不管是在时域还是频域,能量守恒这也是巴塞伐尔定理。

Parseval's theorem证明:即要证明

从f 或从w 域证明。(\omega =2\pi f)(下图里自行把x(t)当成s(t)即可)

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第5张图片如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第6张图片

3.自相关函数 与 能量谱密度/功率谱密度 的关系?

对于能量信号:一个能量信号自相关函数的傅里叶变换等价于它的能量谱密度

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第7张图片

对于功率信号:一个功率信号自相关函数的傅里叶变换等价于它的功率谱密度

具体证明参照

维纳—辛钦(Winner-Khitchine)定理的证明_维纳辛钦定理_带着地球去浪一浪的博客-CSDN博客

4.周期性的功率信号的 功率谱是离散的

可以将T选作等于信号的周期T0,并且用傅里叶级数代替傅里叶变换,求出信号的频谱

 因为功率信号在时间  T趋近无穷 上的能量是无限的,因而没办法证明其在 无穷时间域的能量 守恒,但是 由于其功率有限,可以证明 其在 时间 域上的平均功率 等于 其 在频域上的(离散)功率谱 相加。

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第8张图片

Cn为此周期信号的傅里叶级数的系数。若f0是此信号的基波频率,则Cn是此信号的第n此谐波的振幅;|Cn|^2为第n次谐波的功率,可以称为信号的(离散)功率谱。请注意,这是 功率谱 而非 功率谱密度。 若非是要表示功率谱密度,可以如下定义:

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第9张图片

如何理解功率谱/能量谱密度?它与自相关函数的关系?_第10张图片

首先,要知道,应用中所说的能量谱==能量谱密度,功率谱≈功率谱密度, 第二,能量信号才有能量谱密度,能量谱密度可由能量信号的傅里叶变换得到,正比于傅里叶谱的平方,能量谱密度对频率积分就可以得到总能量;第三,功率信号包括有周期信号和非周期信号(常见的如随机信号),周期信号可定义功率谱(离散的),正比于傅里叶级数系数的平方,功率谱的累加求和可以得到信号的平均功率,而非周期信号则没有功率谱的概念,这也是功率谱较少使用的原因。通过引入冲击函数,可对周期和非周期的功率信号统一定义功率谱密度,功率谱密度对频率积分就得到信号的平均功率。所以应用中基本只用功率谱密度,也常简称为功率谱。

你可能感兴趣的:(通信,算法,信息与通信)