4-2等差数列

概念 从第一项开始，前项和后项的差相等。这样的数列叫等差数列。相等的差叫做公差。

生活中的等差数列

自然数列   1、2、3、4、5、6、7、8……100

奇数或者偶数数列    1、3、5、7、9      2 4 6 8 10

等差特征：1、变化方向一致  2相邻两项差相等

为描述准确，统一命名。首项 A1 、末项 An、项数 n 、公差d

计算：

求和=（首+末）×项数÷2

末项=首项+（项数 - 1）×公差

首项=末项 -（项数 - 1）×公差

项数 = （末项 - 首项）÷ 公差 + 1

公差=（末项 - 首项）÷（项数 - 1）

基础型例题：

例题一 ☆☆  1+2+3+…+100

（首项+末项）× 项数 ÷ 2

（1+100）×100 ÷ 2 = 5050

例题二 ☆☆  5+8+11+14+… 这个数列的第33项是多少？

5+（33-1）×3 = 101

课堂探索

求末项为2011，公差为5，项数为201的等差数列的首项

例题三 ☆☆☆  求首项是4，公差是4的等差数列前25项的和。

末项：  4+4×（25-1）=100

求和：（4+100）×25÷2=1300

课堂探索

求公差为3 末项为210，共31项的等差数列之和。

例题四 ☆☆☆ 有一堆粗细均匀的原木，堆放在一起。最上层6根，往下每增加一层，增加1根。一共堆放了25层。请问这一堆原木一共多少根？

课堂探索

数列：1,5,9,13，……,2013,2017,共有多少个数？

计算1+10+19+……+217的和

（217-1）÷9+1=项数

（1+217）×项数÷2=数列的和

7＋11＋……＋99＋103＋107  求这个数列的和

扩展型例题

例题一 ☆☆☆☆ 盒 子里放1个球，魔术师开始表演，他把球拿起来变成4个球放进去，又拿起来2个球，变成了8个球放进去。第十次，他拿出10个球，变成了40个球放进去。到这个时候，盒子里一共有多少个球？

解：

1、原来有1个球；

2、表演开始，每次表演增加拿出球的3倍，拿出的球分别是1 2 3 4···，增加的分别是3、6、9···

列算式（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）×3＋1

** 别忘了还有最开始的一个球。

例题二 ☆☆☆   求所有被3除余2的两位数的和

解：分析题意，试着列举 11、14、17、··· 98，

发现这些数字实际上是一个公差为3的等差数数列。

知道首项和末项，知道公差，先求项数，再求和。

课堂探索：求所有除以5余3的两位数的和

例题三 ☆☆☆☆ 在19和91之间插入5个数，使这七个数构成等差数列。请问插入的是哪五个数

公差=（首项-末项）÷（项数-1）

课堂探索：

在13和90之间插入6个数，使这8个数构成一个等差数列。写出要插入的这8个数。

例题四 ☆☆☆☆ 十五个连续偶数的和是2010，其中最大的偶数是多少？

发现规律：配对法

逆推法：数列和×2÷项数 =（首项+末项）   

例题五： ☆☆☆☆ 1-50中，所有不能被5或者7整除的数的和是多少？

特殊的情况

例题一

☆☆☆

： 计算1＋2＋3＋……＋2013＋2014＋2013＋2012＋……＋3＋2＋1=1 的和？

1、用公式分别计算两个等差数列。

2、1   ＋    2＋    3 ＋……＋2012＋2013＋2014

2013＋2012＋2011…… ＋  2    ＋  1         一共有多少个2014呢？

爬到山顶再下山的数列的算法是：1+2+3+……+（n-1）+n+(n-1)+……+3+2+1 =  n×n

得到结论：爬到山顶再下来的数列，求和用 n×n 简化计算

例题二 ☆☆☆计算：1＋3＋5＋……＋2013＋2015 的和

项数：（2015+1）÷ 2=1008

求和：（1+2015）×1008÷2

=1008×1008

=1016064

得到结论：从1开始的连续奇数求和，就等于：  项数×项数

综合使用学过的知识

计算：101+103+105+ ··· +309

=（1＋3＋5＋···＋397＋399）-（1＋3＋5＋···＋97＋99）

= 200×200 - 50×50

= 40000-2500

= 37500

计算：1+3+3+6+5+9+7+12＋···＋25

1、25是第多少项？  （25-1）÷2+1=13项

2、3 6 9数列的 第12项   3+（12-1）×3 =36

3、原式=13×13+（3+36）×12÷2 =169+234

数列：1,2,4,7,11,16,··· 的第500个数是多少？

1=1

2=1+1

4=1+1+2

7=1+1+2+3

11=1+1+2+3+4

16=1+1+2+3+4+5

……

第500个数= 1+1+2+3+4+5+……+499