【树形 DP】如何从“方向“角度理解树形 DP
题目描述
这是 LeetCode 上的 「834. 树中距离之和」 ，难度为 「困难」。
Tag : 「树形 DP」、「DFS」、「动态规划」、「树」
给定一个无向、连通的树。
树中有 n 个标记为 0...n-1 的节点以及 n-1 条边 。
给定整数 n 和数组 edges， 表示树中的节点 和 之间有一条边。
返回长度为 n 的数组 answer，其中 answer[i] 是树中第 i 个节点与所有其他节点之间的距离之和。
示例 1: 
输入: n = 6, edges = [[0,1],[0,2],[2,3],[2,4],[2,5]]
输出: [8,12,6,10,10,10]
解释: 树如图所示。
我们可以计算出 dist(0,1) + dist(0,2) + dist(0,3) + dist(0,4) + dist(0,5)
也就是 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8。 因此，answer[0] = 8，以此类推。
示例 2: 
输入: n = 1, edges = []
输出: [0]
示例 3: 
输入: n = 2, edges = [[1,0]]
输出: [1,1]
提示:
- 给定的输入保证为有效的树
树形 DP
对于树形 DP，可以随便以某个节点为根，把整棵树“拎起来”进行分析，通常还会以“方向”作为切入点进行思考。
不妨以编号为 0 的节点作为根节点进行分析：假设当前处理到的节点为 u，当前节点 u 的父节点为 fa，同时 u 有若干子节点 j。
对于任意节点 u 而言，其树中距离之和可根据「方向/位置」分为两大类（对应示例图的左右两部分）：
- 所有从节点
u“往下”延伸所达的节点距离之和，即所有经过u -> j边所能访问到的节点距离之和 - 所有从节点
u“往上”延伸所达的节点距离之和，即经过u -> fa边所能访问到的节点距离之和
假设我们能够用 和 预处理出每个节点“往下”和“往上”的距离之和，那么就有 。
不失一般性分别考虑 和 该如何计算。
为了方便，起始先用「链式前向星」对 edges 进行转存，同时在递归计算 时，将父节点 fa 也进行传递，从而避免遍历节点 u 的出边时，重新走回 fa 。
的推导
对于叶子节点（没有“往下”出边的节点），我们有 的天然条件，计算好的叶子节点值可用于更新其父节点，因此 求解 是一个「从下往上」的递推过程。
假设当前处理到的节点是 u，往下节点有 、 和 ，且所有 均已计算完成。
由于 是由所有存在“往下”出边的节点 j 贡献而来。而单个子节点 j 来说，其对 的贡献应当是：在所有原有节点到节点 j 的距离路径中，额外增加一条当前出边（u -> j），再加上 1（代表节点 u 到节点 j 的距离）。
原路径距离之和恰好是 ，额外需要增加的出边数量为原来参与计算 的点的数量（即挂载在节点 j 下的数量），因此我们还需要一个 c 数组，来记录某个节点下的子节点数量。
最终的 为所有符合条件的节点的 j 的 的总和。
的推导
对于树形 DP 题目，“往下”的计算往往是容易的，而“往上”的计算则是稍稍麻烦。
假设当前我们处理到节点为 u，将要遍历的节点为 j，考虑如何使用已经计算好的 来求解 。
这里为什么是求解 ，而不是 呢？
因为我们求解的方向是“往上”的部分，必然是用父节点的计算结果，来推导子节点的结果，即 求解 是一个「从上往下」的过程。
对于树形 DP ，通常需要对“往上”进一步拆分：「往上再往上」和「往上再往下」：
-
往上再往上：是指经过了
j -> u后，还必然经过u -> fa这条边时，所能到达的节点距离之和：
这部分对 的贡献为：在所有原有节点到节点
u的距离路径中，额外增加一条当前出边（u -> j），增加当前出边的数量与节点数量相同，点数量为 ，含义为 总节点数量 减去u节点以及子节点数量。即此部分对 的贡献为 。
-
往上再往下：是指经过了
j -> u后，还经过「除u -> j以外」的其他“往下”边时，所能到达的节点距离之和：
这部分的计算需要先在 中剔除 的贡献，然后再加上额外边（
u -> j）的累加数量，同样也是节点数量。从 中剔除 后为 ，而点的数量为 ，含义为在以节点
u为根的子树中剔除调用以节点j为根节点的部分。即此部分对 的贡献为 。
Java 代码：
class Solution {
int N = 30010, M = 60010, idx = 0, n;
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
int[] f = new int[N], c = new int[N], g = new int[N];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
public int[] sumOfDistancesInTree(int _n, int[][] es) {
n = _n;
Arrays.fill(he, -1);
for (int[] e : es) {
int a = e[0], b = e[1];
add(a, b); add(b, a);
}
dfs1(0, -1);
dfs2(0, -1);
int[] ans = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) ans[i] = f[i] + g[i];
return ans;
}
int[] dfs1(int u, int fa) {
int tot = 0, cnt = 0;
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
int[] next = dfs1(j, u);
tot += next[0] + next[1] + 1; cnt += next[1] + 1;
}
f[u] = tot; c[u] = cnt;
return new int[]{tot, cnt};
}
void dfs2(int u, int fa) {
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
g[j] += g[u] + n - 1 - c[u]; // 往上再往上
g[j] += f[u] - f[j] - c[j] + c[u] - 1 - c[j]; // 往上再往下
dfs2(j, u);
}
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.834 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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