二阶系统动态响应特性与阻尼比的关系

二阶系统动态响应特性与阻尼比的关系

胡寿松《自动控制原理》中第75-77页，介绍了欠阻尼二阶系统的动态过程。

无零点二阶系统传递函数

无零点二阶系统闭环传递函数：

$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

单位负反馈下对应开环传递函数

$$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s(s+2\zeta )}$$

其中，常用参数如下，他们的关系如下图

• ${\omega }_n$称为自然频率
• $\zeta$称为阻尼比
• $\zeta =\cos (\beta )$,$\beta$称为阻尼角
• ${\omega }_d={\omega }_n\sin \beta ={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$
• $\sigma ={\omega }_n\cos \beta ={\omega }_n\zeta$
  

欠阻尼下阶跃响应动态特性

当$0<\xi <1$时，系统称为欠阻尼二阶系统，它的动态性能参数可以通过这些公式确定。

• 与阻尼比正相关
  • 上升时间：$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}$
  • 峰值时间：$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$
• 与阻尼比负相关
  • 超调量：$\sigma \%=e^{\frac{-\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}\times 100\%$
  • 调节时间：
    • $t_s=\frac{3.5}{\sigma }$($\Delta =0.05$)
    • $t_s=\frac{4.4}{\sigma }$($\Delta =0.02$)

matlab绘制的动态特性与阻尼比的关系