Matlab随机变量的数字特征

目录

1、均值（数学期望）

2、中位数

 3、几何平均数

4、调和平均数

5、数据排序

6、众数

7、极差（最大值和最小值之差）

8、方差与均方差（标准差）

 9、变异系数

10、常见分布的期望与方差的计算

 11、协方差和相关系数

12、偏度和峰度

12.1 偏度

12.2  峰度

---

1、均值（数学期望）

mean(X)：当样本X是向量时，返回X的个元素的算数平均值；当X是矩阵时，返回X的各列元素的平均值。

mean(X ,dim)：当dim=1时，返回矩阵X各列的均值 ；当dim=2时，返回矩阵各行的均值。

>> clear
>> R=rand(3,4)
R =
    0.9572    0.1419    0.7922    0.0357
    0.4854    0.4218    0.9595    0.8491
    0.8003    0.9157    0.6557    0.9340
>> a=mean(R,1)
a =
    0.7476    0.4931    0.8025    0.6063
>> b=mean(R,2)
b =
    0.4817
    0.6789
    0.8264

2、中位数

median(X)        median(X,dim)

Dim=1时，返回矩阵X各列大小排列后位于中间那个数的值（中位数）；dim=2时返回各行的中位数。

>> clear
>> R=unidrnd(10,5,5)
R =
     4      4    10     4     7
    10     3    10     9     8
     4      5     6      1     7
     2      1     1      1     5
     8      2     3      2     6
>> a=median(R,1)
a =
     4     3     6     2     7
>> b=median(R,2)
b =
     4
     9
     5
     1
     3

 3、几何平均数

geomean(X)     geomean(X,dim)

>> clear
>> R=unidrnd(5,3,4)

R =

     2     4     4     5
     4     1     4     4
     1     2     1     3
>> a=geomean(R,1)
a =
    2.0000    2.0000    2.5198    3.9149
>> b=geomean(R,2)
b =
    3.5566
    2.8284
    1.5651

4、调和平均数

harmmean(X)       harmmean(X,dim)

>> clear
>> R=rand(3,4)
R =
    0.4359    0.5085    0.7948    0.8116
    0.4468    0.5108    0.6443    0.5328
    0.3063    0.8176    0.3786    0.3507
>> a=harmmean(R,1)
a =
    0.3848    0.5828    0.5503    0.5033




>> b=harmmean(R,2)
b =
    0.5925
    0.5246
    0.4008

5、数据排序

sort(X)   sort(X,dim)

当X是向量时，返回X从小大到的排序；当dim=1时，对各列独立排序；当dim=2时，对各行独立排序。

>> clear
>> R=unidrnd(10,4)

R =

    10     6     3     2
     9     3     9     3
     6     4     2     5
     7     5     3     4
>> sort(R,1)
ans =
     6     3     2     2
     7     4     3     3
     9     5     3     4
    10    6     9     5
>> sort(R,2)
ans =
     2     3     6    10
     3     3     9     9
     2     4     5     6
     3     4     5     7

sortrows(X)：X为向量时，返回X的从小到大的排序；当X时矩阵时，返回按照X第一列元素从小到大的行相关排序。例如

>> clear
>> R=unidrnd(10,4,4)
R =
     7     3     7     5
     2     1     4     4
     8     1    10     8
     1     9     1     8
>> a=sortrows(R)
a =
     1     9     1     8
     2     1     4     4
     7     3     7     5
     8     1    10     8

sortrows(X,col)：当col=k时，表示排序按照第k列元素从小到大的行关联排序，例如

>> clear
>> R=unidrnd(10,4,4)
R =
     2     8     7    10
     5     8     2     4
     5     3     2     6
     7     7     5     3
>> b=sortrows(R,3)
b =
     5     8     2     4
     5     3     2     6
     7     7     5     3
     2     8     7    10

6、众数

mode(X,dim )      样本观测值中出现频率最高的数。

>> clear
>> R=unidrnd(8,4,5)
R =
     8     4     2     1     1
     3     2     8     2     1
     1     4     8     3     2
     7     1     5     7     6
>> a=mode(R,1)
a =
     1     4     8     1     1

>> b=mode(R,2)
b =
     1
     2
     1
     7

7、极差（最大值和最小值之差）

range(X,dim)；若X是向量，返回X的极差；dim=1时，返回X各列的极差；dim=2时，返回X的各列的极差。

>> clear
>> R=rand(4)
R =
    0.7513    0.8909    0.1493    0.8143
    0.2551    0.9593    0.2575    0.2435
    0.5060    0.5472    0.8407    0.9293
    0.6991    0.1386    0.2543    0.3500
>> a=range(R,1)
a =
    0.4962    0.8207    0.6914    0.6857
>> b=range(R,2)
b =
    0.7416
    0.7158
    0.4233
    0.5605

8、方差与均方差（标准差）

var(X)：当X为向量时，返回X的样本方差

当X为矩阵时，返回X各列的方差。

var(X,1)：返回X的简单方差

>> clear
>> R=rand(3)
R =
    0.1966    0.4733    0.5853
    0.2511    0.3517    0.5497
    0.6160    0.8308    0.9172
>> S1=var(R)
S1 =
    0.0520    0.0620    0.0411
>> S2=var(R,1)
S2 =
    0.0347    0.0414    0.0274

std(X)：返回X各列的标准差

std(X,1)：返回X各列的简单标准差

std(X,flag,dim)：flag=0,计算标准差， flag=1,计算简单标准差； dim=1，按列计算； dim=2，按行计算。

 9、变异系数

 变异系数是衡量数据观测值中各个变量变异程度的一个统计量，定义为

>> clear
R1=normrnd(2,4,10,1);
R2=normrnd(4,4,10,1);
[R1,R2]
ans =
   -0.8480   -2.0246
   -2.6968    2.2215
    1.2310    3.3762
    0.9037    5.1043
    8.1203    2.9553
    1.0039    5.7737
   -2.2569    5.5676
    8.4138   -1.0027
    6.9387    0.2082
    1.0815    1.0356
>> [std(R1)/mean(R1),std(R2)/mean(R2)]
ans =
    1.8930    1.1821

可见，样本R1的变异程度高于R2的变异程度。

10、常见分布的期望与方差的计算

 11、协方差和相关系数

cov(X,dim)          当X为向量时，返回X的方差；当X为矩阵时，返回X各列之间的协方差。

>> clear
>> X=rand(4)
X =
    0.7482    0.9133    0.9961    0.9619
    0.4505    0.1524    0.0782    0.0046
    0.0838    0.8258    0.4427    0.7749
    0.2290    0.5383    0.1067    0.8173
>> a=cov(X)
a =
    0.0837    0.0088    0.0762    0.0023
    0.0088    0.1177    0.1195    0.1349
    0.0762    0.1195    0.1822    0.1167
    0.0023    0.1349    0.1167    0.1856

 R=corrcoef(X)        返回矩阵X各列之间的相关系数。

[r,p,pl,pu]=corrcoef(X)

• r为X各列相关系数；
• p为矩阵X不相关假设检验的p值；
• pl,pu是r的95%置信区间的下限和上限。

 

>> clear
>> X=[1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6;0.2 0.4 0.8 0.9];
>> [r,p,pl,pu]=corrcoef(X)
>> X
X =
    1.0000    2.0000    3.0000    4.0000
    2.0000    3.0000    4.0000    5.0000
    3.0000    4.0000    5.0000    6.0000
    0.2000    0.4000    0.8000    0.9000
r =
    1.0000    0.9846    0.9651    0.9367
    0.9846    1.0000    0.9960    0.9835
    0.9651    0.9960    1.0000    0.9957
    0.9367    0.9835    0.9957    1.0000
p =
    1.0000    0.0154    0.0349    0.0633
    0.0154    1.0000    0.0040    0.0165
    0.0349    0.0040    1.0000    0.0043
    0.0633    0.0165    0.0043    1.0000
pl =
    1.0000    0.4366    0.0556   -0.2446
    0.4366    1.0000    0.8185    0.4098
    0.0556    0.8185    1.0000    0.8039
   -0.2446    0.4098    0.8039    1.0000
pu =
    1.0000    0.9997    0.9993    0.9987
    0.9997    1.0000    0.9999    0.9997
    0.9993    0.9999    1.0000    0.9999
    0.9987    0.9997    0.9999    1.0000

以5%为置信度，可以看出，第1列和第4列不相关（p>5%),且相关系数的95%置信区间显著包含0，即相关性较弱。

12、偏度和峰度

12.1 偏度

 

y=skewness(X)        偏度是描述样本数据围绕其均值对称情况的描述，如果y<0，则数据分布偏向均值左边（左偏）;反之为右偏。

>> clear
>> x=0:0.1:15;
>> X=chi2pdf(x,5);
>> plot(x,X,'*');
>> y=skewness(X)
y =
    0.4090

>> x=0:0.1:15;
>> X1=chi2pdf(x,10);
>> plot(x,X1,'*'),y=skewness(X1)
y =
   -0.4681

12.2  峰度

y=kurtosis(X)        若y=3称样本数据呈正态峰度；若r>3，样本曲线比标准正态分布平坦；r<3，样本曲线比标准正态分布陡峭。

>> clear
>> y=[];
>> r=3:0.05:6;
>> for k=1:length(r)
x=-r(k):0.1:r(k);
X=normpdf(x,0,1);
y1=kurtosis(X);
y=[y,y1];
end
>> plot(r,y,'*')