概率论中一些基本概念和计算

目录

事件与实验

事件的关系：

事件的运算：

频率和概率：

古典模型：

条件概率的计算：

划分

独立事件：

独立事件组的性质：

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事件与实验

实验的特点:

1. 可重复
2. 可能的结果是有限并已知的
3. 实验的结果是不确定的

实验可能出现的一种结果是一个样本点，所有样本点组成的集合是样本空间，基本事件是一个样本点组成的单点集，一个或多个基本事件构成一个事件。例如扔一个骰子，这个实验有六个样本点。而扔的结果是六朝上，这是一个基本事件。朝上的点数为偶数个这是由三个基本事件组成的事件。（样本点是元素，事件是样本空间的一个子集，基本事件是只有一个样本点的集合）

事件的关系：

互斥事件（互不相容）：A发生后B就不可能发生。扔骰子不可能同时扔出四和六，所以这两个事件是互斥事件。

对立事件：A和B不可能同时发生，但是实验的结果只能是A或B不可能有第三种情况，也称A和B互为逆事件。

事件的运算：

A∪B为和事件，A∩B为积事件，A-B为差事件。

A∪B：A或B至少有一个发生

A∩B：A和B同时发生

A-B：A发生但B不发生

事件的运算符合交换律，结合律，分配率。

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(B∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

频率和概率：

频率的计算：在实验中事件A出现的次数/实验的次数=事件A的频率

随着实验次数的增加频率逐渐趋近概率

想象一下块面积为x的地板上画着AB两个圈现在向地板上撒k颗豆子（k足够大）。假设每颗豆子落地地点完全随机，那么显然豆子落到某区域的概率是落在该区域的豆子的数量除以k。A代表豆子落到A圆内，B代表豆子落到B处，可以推出：

P（A∪B）

=(撒在A内的豆子的数量+撒在B内的豆子的数量-同时撒在AB内的豆子的数量)/k

=P（A）+P（B）-P（AB）

同理可得：P（A-B）=P（A）-P（AB）

古典模型：

古典概型（等可能模型）有以下两个特点：

1. 基本事件的个数是有限的
2. 所有基本事件发生的概率相等

古典概型概率的计算方法：该事件包含的基本事件的个数/基本事件的总数

计算基本事件的个数：

最典型的是从m个总数里取n个。但有时需要对取出来的个体进行区分，有时不需要。例如实验一：从4个人里选三个分别当班长、学习委员、纪律委员就和实验二：从四个人里选三个当纪律委员不同，前者需要区分而后者不需要。但是先把人选出来再说！

现在让我们考虑从n个里面不重复的选m个。实验三：袋子里有十个球编号从0到9，你需要拿三个球给小明、小虎和晓华,显而易见有10×9×8=720 种可能。第一步从10个球中选一个给小明,第二步从九个球中选一个给晓华,第三次从八个球中选一个球给小虎(小明、晓华小虎谁先谁后结果都一样)。以此类推从m个个体里选n个有K=m*（m-1）*（m-2）……（m-n+1）个选法。

现在来做进一步处理。假设我们仅仅从上述实验三的袋子里取三个带编号的球（实验四），那么情况就有所不同了。经过实验我们知道这时总共有120种可能，并不是720种。原因在于在实验三中分别取出编号为1 2 3的球和分别取出编号为1 3 2的球是两件不同的事，而在实验四里这是相同的结果。容易知道当我们对选出的个体进行不同的处理时（例如当不同的职位、分给不同的人）我们需要对取出来的个体进行区分。当我们对选出的个体进行相同的处理时区分是不需要的。

由实验三和实验四的结果我们可以知道我们得到的K是对取出来的个体进行区分的实验结果。

而不区分时有：K/（n*(n-1)(n-2)......2*1）种结果。

条件概率的计算：

我们规定P（A︱B）代表当事件B已经发生后事件A发生的概率。

P(A|B)=P(AB)/PA(B)

注意：P（A）=P（A︱S）（S为必然事件）

还是上文中的撒豆子实验：

P（A︱B）=撒在AB内的豆子的数量/撒在B内的豆子的数量

=（撒在AB内的豆子的数量/x）/（撒在B内的豆子的数量/x）

=P(AB)/P(B)

划分

划分是指将事件A分为n个事件A1 A2 A3······An且：

∀i,j

A1∪A2∪·····∪An=A

易知:P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+······P(An)

两个重要公式：

贝叶斯公式：

                     

全概率公式：P(A)=P(A|B₁)+P(A|B₂)+......+P(A|Bn)

独立事件：

两个事件互为独立事件的条件是两个事件的发生互不影响。即P(AB)=P(A)×P(B)。例如：抛两个硬币，第一个硬币的结果对第二个硬币没有任何影响。

三个事件相互独立的条件是：

P（AB）=P（A）P（B）

P（BC）=P（B）P（C）

P（AC）=P（A）P（C）

由此可知n个事件相互独立的条件是：

∀i,j

独立事件组的性质：

1. A1 A2 ...An相互独立，A1A2.....Am相互独立（m
2. 将一个独立事件组分成n个小组则这n个小组的事件分别做并差积逆运算得到的n个事件相互独立。e.g.ABCD相互独立，A，B，（C∩D）也相互独立。