概率论中一些基本概念和计算

目录

事件与实验

事件的关系:

事件的运算:

频率和概率:

古典模型:

条件概率的计算:

划分

独立事件:

独立事件组的性质:



事件与实验

实验的特点:

  1. 可重复
  2. 可能的结果是有限并已知的
  3. 实验的结果是不确定的

实验可能出现的一种结果是一个样本点,所有样本点组成的集合是样本空间基本事件是一个样本点组成的单点集,一个或多个基本事件构成一个事件。例如扔一个骰子,这个实验有六个样本点。而扔的结果是六朝上,这是一个基本事件。朝上的点数为偶数个这是由三个基本事件组成的事件。(样本点是元素,事件是样本空间的一个子集,基本事件是只有一个样本点的集合)

事件的关系:

互斥事件(互不相容):A发生后B就不可能发生。扔骰子不可能同时扔出四和六,所以这两个事件是互斥事件。

对立事件:A和B不可能同时发生,但是实验的结果只能是A或B不可能有第三种情况,也称A和B互为逆事件。

事件的运算:

A∪B为和事件,A∩B为积事件,A-B为差事件。

A∪B:A或B至少有一个发生

A∩B:A和B同时发生

A-B:A发生但B不发生

事件的运算符合交换律,结合律,分配率。

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(B∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

频率和概率:

频率的计算:在实验中事件A出现的次数/实验的次数=事件A的频率

随着实验次数的增加频率逐渐趋近概率

想象一下块面积为x的地板上画着AB两个圈现在向地板上撒k颗豆子(k足够大)。假设每颗豆子落地地点完全随机,那么显然豆子落到某区域的概率是落在该区域的豆子的数量除以k。A代表豆子落到A圆内,B代表豆子落到B处,可以推出:

P(A∪B)
=(撒在A内的豆子的数量+撒在B内的豆子的数量-同时撒在AB内的豆子的数量)/k
=P(A)+P(B)-P(AB)

同理可得:P(A-B)=P(A)-P(AB)

古典模型:

古典概型(等可能模型)有以下两个特点:

  1. 基本事件的个数是有限的
  2. 所有基本事件发生的概率相等

古典概型概率的计算方法:该事件包含的基本事件的个数/基本事件的总数

计算基本事件的个数:

最典型的是从m个总数里取n个。但有时需要对取出来的个体进行区分,有时不需要。例如实验一:从4个人里选三个分别当班长、学习委员、纪律委员就和实验二:从四个人里选三个当纪律委员不同,前者需要区分而后者不需要。但是先把人选出来再说

现在让我们考虑从n个里面不重复的选m个。实验三:袋子里有十个球编号从0到9,你需要拿三个球给小明、小虎和晓华,显而易见有10×9×8=720 种可能。第一步从10个球中选一个给小明,第二步从九个球中选一个给晓华,第三次从八个球中选一个球给小虎(小明、晓华小虎谁先谁后结果都一样)。以此类推从m个个体里选n个有K=m*(m-1)*(m-2)……(m-n+1)个选法

现在来做进一步处理。假设我们仅仅从上述实验三的袋子里取三个带编号的球(实验四),那么情况就有所不同了。经过实验我们知道这时总共有120种可能,并不是720种。原因在于在实验三中分别取出编号为1 2 3的球和分别取出编号为1 3 2的球是两件不同的事,而在实验四里这是相同的结果。容易知道当我们对选出的个体进行不同的处理时(例如当不同的职位、分给不同的人)我们需要对取出来的个体进行区分。当我们对选出的个体进行相同的处理时区分是不需要的

由实验三和实验四的结果我们可以知道我们得到的K是对取出来的个体进行区分的实验结果。

不区分时有:K/(n*(n-1)(n-2)......2*1)种结果。

条件概率的计算:

我们规定P(A︱B)代表当事件B已经发生后事件A发生的概率。

P(A|B)=P(AB)/PA(B)

注意:P(A)=P(A︱S)(S为必然事件)

还是上文中的撒豆子实验:

P(A︱B)=撒在AB内的豆子的数量/撒在B内的豆子的数量

=(撒在AB内的豆子的数量/x)/(撒在B内的豆子的数量/x)

=P(AB)/P(B)


划分

划分是指将事件A分为n个事件A1 A2 A3······An且:

∀i,j

A1∪A2∪·····∪An=A

易知:P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+······P(An)

两个重要公式:

贝叶斯公式:

                     

全概率公式:P(A)=P(A|B₁)+P(A|B₂)+......+P(A|Bn)

独立事件:

两个事件互为独立事件的条件是两个事件的发生互不影响。即P(AB)=P(A)×P(B)。例如:抛两个硬币,第一个硬币的结果对第二个硬币没有任何影响。

三个事件相互独立的条件是:

P(AB)=P(A)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)

由此可知n个事件相互独立的条件是:

∀i,j

独立事件组的性质:

  1. A1 A2 ...An相互独立,A1A2.....Am相互独立(m
  2. 将一个独立事件组分成n个小组则这n个小组的事件分别做并差积逆运算得到的n个事件相互独立。e.g.ABCD相互独立,A,B,(C∩D)也相互独立。

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