leetcode300 最长递增子序列

题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

精简版解析

标签：子序列（不连续）

1.dp数组定义
这道题的dp数组怎么定义。首先给定的是一个一维数组，那么先定义一个dp[i]，那么含义是什么呢，dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

2.递推公式
在推导公式的时候，要想一下dp[i]的定义，那么公式就是0 - i-1的每个dp中的最长的，再+1（这个时候才求出了dp[i], 那么dp[i]就是最长吗？不一定，所有要再max比较一下），所以递推公式为：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
那么这个max是什么意思呢，为什么要来这么一下呢？还是上面那个解释，对于下标i，我们要比较0 - i-1中最长的子序列，再+1；所以要注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

3.初始化
还是看dp的含义，标识每个位置的最长长度，所以都初始化为1

4.代码简述： 先定义一个一维dp，都初始化为1；两次循环，内层的注意下遍历范围是0 - i-1，然后符合递增条件的，需要比较0 - i-1中的每个dp值+1，得到最大dp值；再起一个变量保存最大结果

思考 ： 这道题给的是一维数组，同时要求了不连续，（按照之前的总结，不连续的不需要临时变量，需要判断不等，但是这道题为啥不一样，难道是因为这道题是只有一个数组，别的是两个？）dp定义的也是一维数组，但有两层for循环，内层其实是为了比较大小，算出来在内层循环种最大的dp，但那会只是下标为i的情况下的最大长度，我们求的是整个数组中的最大长度，所以还要有临时变量来存一下；

func lengthOfLIS(nums []int) int {
    n := len(nums)
    dp := make([]int, n+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = 1
    }
    res := dp[0]
    for i := 0; i <= n-1; i++ {
        for j := 0; j <= i-1; j++ {
            if nums[i] > nums[j] {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) // 这个+1放在这里最合适，放在下面的话，最后会多加个1
            }
        }
        // dp[i] += 1 // 代表上面的最大值+1
        if dp[i] >= res {
            res = dp[i]
        }
    }
    return res
}

func max(a,b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

---

这里解释一下代码中关于递推公式的比较问题
首先内层的for循环是在遍历0 -（i-1）这个区间，对于每一个j，都有一个dp[j]；当nums[i] > nums[j]的时候，此时的dp[i] = dp[j]+1；到此为止是没有问题的，但注意我们是循环遍历了i-1个，所以就要求max来选出整个循环里最大的那个dp[i]

下面这个没想明白为什么也能过：

func lengthOfLIS(nums []int) int {
    n := len(nums)
    dp := make([]int, n+1)
    res := dp[0]
    for i := 0; i <= n-1; i++ {
        for j := 0; j <= i-1; j++ {
            if nums[i] > nums[j] {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j])
            }
        }
        dp[i] += 1 // 代表上面的最大值+1
        if dp[i] >= res {
            res = dp[i]
        }
    }
    return res
}

func max(a,b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}