KMP算法next数组

next数组规则如下：

注意，下标j从1开始，到最后一个字符结束（当然也可以是0，只要所有的值都减1即可）

1. next[j] = 1 , j = 1
2. 满足如下条件的k的最大值：

$$\begin{gathered} next[j]=\{max(k)|1<k<j,p_1...p_{k-1}=p_{j-k+1}...p_{j-1}\}, \\ {p}_1可以等于p_{k-1},p_{j-k+1}可以等于p_{j-1} \end{gathered}$$

3. next[j] = 1，其他情况

比如字符串"abaabcac"的next数组为：111223121

至于改进的next数组，情况将会更加复杂，暂不赘述。

卡特兰数：

$$\frac{C_{2n}^n}{n+1}$$