透视矩阵详解

在一开始我接触到透视矩阵的时候，很困惑，包括我在看games101的时候，透视矩阵的推理，并不能完全说服我，就是硬凑我的，让我从根本上理解这个透视矩阵到底在做什么，在自我学习的过程中，我翻阅了很多资料包括

OpenGL Projection Matrix (songho.ca)中对透视变换的论述，以及在games中的方法论述，我会发现这两者推出来的最终式子不同（最后搞清楚是约定的问题），就整的自己有点迷惑（可能是我脑子不太好使吧~~）现在开始，我会努力把这个矩阵，以及我为什么要搞出这个式子讲清楚。

约定（这很重要，会让你的推理变得更清晰）：

这里我们做出约定，文中的所有变量例如n, f , z都是表示具体坐标，而不是传入的数值；

nf是我们传入的近远平面的与视点的距离，是个正值；

opengl中的nf平面映射方式：n -> -1, f -> 1, games101中 n -> 1, f -> -1,这里我希望用opengl中的映射方式；

opengl和games101中mv变换都是处于右手坐标系下的，但是因为opengl中将nf映射的方式会导致坐标系旋向变换，变成左手系；

透视投影：

当我们将场景中的点变换到view坐标系下之后，相机位于原点，看向-z方向，所以有如下图：

可以看到，从原点看去，空间中任意点都将都投影在投影平面（近平面）投影为（x', y', z')，这里做投影的话z'其实已经没有意义了，因为我只需要知道你在我屏幕上应该处于哪个点，所以就有：

所以大功告成？引用ssloy的一句话：

If you simply copy-paste this formula without understanding the above material, I hate you.

但是我们希望能够将这个公式转化为一个矩阵

因为矩阵在坐标变换中有良好的性质，所有变换都用上述式子得形式转化我们的坐标的话，对于需要做很多变换的情形下时，对所有点我们都不得不做很多次计算，基本是每次变换都要进行一次运算，但是矩阵连乘（从右读到左的变换顺序+矩阵有结合律）能够表示一系列的变换，并且可以一次性求出所有变换为一个矩阵，这样就可以用一个矩阵表示一系列变换，极大减小运算量。
但这里需要除以一个轴上的坐标，我们就不得不引入齐次坐标方式来计算，让计算到的w = z，然后用除法实现变换，这个除法就叫做透视除法。

并且我希望他能够保留z方向的深度值，因为我单单拿这个式子来计算，我会丢失深度，如果这个方向上有多个点，我就不知道最终应该画谁了，所以我们希望这个变换能将nf变换到[-1, 1]范围中，保留z的信息，用来作为深度测试的参考，并且在TAA等时间域上的处理时要用屏幕坐标信息去计算motion vector

注意games101的推论本质上也是跟这个一样，只不过闫老师是将nf映射到了nf本身这个范围内，基本思想也是映射-保留z的信息。我们这里直接映射到了[-1, 1]范围，后续就只需要做xy方向上的移动缩放了。

那么现在我们的目标很明确，需要求一个矩阵Mp使得能够实现这样一个变换：

这里我并不知道z会被变换到哪里去，那就先不管，看别的行:

很容易得出013：

其实从这里我们就能看到了，齐次矩阵的第四行第三列代表着w的值，该位置1也就意味着w=z，使得xy拥有了透视投影的性质。

然后是第三行，我们能够知道的是n被映射到-1, f被映射到了1；

那么就有

我们知道z的值不依赖于xy，所以A & B = 0

那么就有：

于是有

再将xy方向上的投影平面变换到【-1， 1】范围：

左乘Mp得到最终透视变换矩阵

我们得到了最终的透视矩阵

注意我们这里和opengl的矩阵有点不太一样，但其实是一样的，只不过我们的nfz都是实际坐标值。

但其实我们的透视行为还未真正开始，这一步我们得到的空间叫做裁剪空间，在齐次坐标系下我们的裁剪能够有很好的性质，不过这是另外一件事了。

从这里我们能看出来，做了投影变换之后的坐标，对于一个点，w = z，也就是其深度坐标，对于opengl用-z的，其实也一样，所以说讲的严密点，是其在view空间下的深度的负数。