图形学games101课程回顾--变换矩阵和MVP变换

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前言

这个文档为笔者自用，纯属知识分享和讨论，杜绝商用，有问题欢迎大家指出。

一、计算机图形学？

计算机图形学就是应用计算机合成或生成虚拟信息。在当前生活中，有很多这方面的应用，比如动画《凡人修仙传》、电影《冰雪奇缘》，电影特效《权力的游戏》，游戏，场景模拟，产品设计图，VR等等。

在这个课程中，主要讲解光栅化成像、几何表示、光的传播理论和动画与模拟这四部分。

二、前期准备

1.线性代数

无论是图形学还是机器学习，都离不开用向量、矩阵来表示物体的具体位置等属性。

• 向量：具有大小和方向。例如给定一个三维直角坐标系，向量$AB$ = B-A，其中A为起始点，通常为原点，B为终点(x, y, z)，大小为||$AB$||$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$， 方向为$AB/$||$AB$||.
• 向量点乘：点乘得到的是一个数，$a$ $\cdot$ $b$ = $x_a$ $\cdot$ $x_b$ + $y_a$ $\cdot$ $y_b$ + $z_a$ $\cdot$ $z_b$
• 向量叉乘：叉乘仍得到一个向量，$a$ $\times$ $b$ = $c$，其中$c$垂直于$a$ 和$b$构成的平面。具体运算过程：
• 矩阵：通常为m$\times$n的数组，矩阵运算满足结合律，不满足交换律。
• 矩阵转置：$(AB{)}^T$ = $B^T$$A^T$
• 如果A矩阵满足A$A^{-1}$ = I， 同时$A^T$ = $A^{-1}$，称为幺正矩阵。

2.二维与三维变换

当我们从某个角度看向三维空间中的场景时，看到的是在这个角度下的二维图像。那么要将我们看到的图像在计算机中描绘出来，就需要将应用变换将3D场景变换到2D，即正交或投影变换；在实际应用中，我们想得到这个物体旋转后的样子，或者让这个物体在另一个位置出现，这时就要用到旋转变换或平移变换，因此变换在图形学中必不可少。

• 二维缩放矩阵：寻找变换矩阵的常用方法就是找到变换前后特征点的对应关系，构造出变换矩阵即可。对于下图，我们可以选取左图中的在y轴上的点（0，a）以及在x轴上的点(b,0)两点，将图片进行1/2的缩小后，y轴上的点变为(0, a/2)，x轴上的点为(2/b, 0)，缩放矩阵必须满足上述两个点变换前后的关系，即：
  
  推广后即为：

• 二维反演矩阵：与上述变换矩阵推导一致，选图像右上角的点(a,b)， 变换后为(-a, b), 再选x轴上的点(a, 0)，变换后为(-a, 0), 以及y轴上的点(0,b)，变换后仍为(0,b)，即可得反演矩阵；或者直接观察坐标变换规律，沿竖直方向翻转后，图像中的x轴上的坐标相反，y轴保持不变。
  
• 切变矩阵：可以直接观察，沿水平方向的切变，图像中y分量的都是不变的，只有x分量发生变化，$x^{\prime }$
  = x + ay。

• 二维旋转矩阵：最简单的寻找方法即是选几个特殊点，好用不费脑。
• 平移变换：平移是比较特殊的一类变换，不属于线性变换(x’ = Mx)，而是：

因此，为了将平移与其他变换矩阵的形式统一起来，我们引入齐次坐标的概念。

1. 点：$(x,y{)}^T$= $(x,y,1{)}^T$
2. 向量：$(x,y{)}^T$ = $(x,y,0{)}^T$
   这样我们就可以把平移矩阵写为：
   总结我们的上述变换矩阵就可以写为3$\times$ 3形式：

• 三维变换矩阵：只需要增加一个维度即可，类似二维，三维的点和向量可定义为：

1. 点：$(x,y,z{)}^T$ = $(x,y,z,1{)}^T$
2. 向量：$(x,y,z{)}^T$ = $(x,y,z,0{)}^T$
   相应的变换矩阵为：
   

三、MVP变换

我们要把从某一个角度看到的3D场景呈现出来，就是一个类似于拍照片的过程。拍照片通常分为3步：

1. 摆好我们即将拍摄的物体，构成场景
2. 放好照相机位置
3. “茄子”

对应的，我们把从某个方向看到的3D场景呈现为2D，也要做到这三步，不过是在计算机上做而已。
对应到计算机，我们的步骤为：

1. 将物体摆好造型：比如我们想做拍一个菱形的正方体，那么就可以将正方体做个旋转；再或者我们想把物体移动一下，就需要做个平移变换；在计算机中操作，我们首先给物体自己确定一个自身的坐标，再进行变换操作；这就是Model Transformation.
2. 下一步我们就要摆好摄像机的位置，默认摄像机在右手坐标系中，看向-z方向，成像时相框向上的方向为y正方向。假设我们的摄像机现在的位置在(1,2,10)这样一个位置中，我们就需要将其变换到原点上去并摆好位置，即View Transformation。
1. 第一步先做一个平移，将相机移动到原点
2. 将相机的位置摆到默认方向，做正向旋转很难，我们可以先做个逆变换，即假设相机原本就在默认摆放方向，现在将其转到任意一个摆放方向：
3. 投影成像-Projection。投影常有两类，一类是正交投影，即假设观测点在无穷远处，投影线是平行的；另一类是透视投影，是我们人眼真实看到的一种投影，看到的物体是近大远小，平行线在远处会相交。
透视投影分为两步：
1.将我们看到的锥形物体压缩为长方体，这里应用了齐次坐标的性质，$(x,y,z,1{)}^T$ = $(wx,wy,wz,w{)}^T$。注意，这里的n为近平面，f为远平面，且都为负。

2.将这个长方体规范化为$[-1,1{]}^3$ 立方体，即简单的平移和缩放变换即可。

四，实际操作

实际上我们通常通过纵横比 = width/height，以及垂直视野fovY ，结合近平面，就可以计算长方体的宽高