单复变函数（三）

魏尔斯特拉斯探讨函数论的途径

柯西建立函数论是基于由解析式表示的函数的导数和积分，而与此同时魏尔斯特拉斯(1815-1897)开辟了一条新的途径，他生于威斯特伐利亚，在大学学习法律，四年后（1838年）转向学数学，但未完成博士工作，而是到高中当教员。期间他刻苦地进行数学研究，发表了少量成果，1856年成为柏林工学院和柏林大学的讲师。

他是一个有条理、苦干的人，不像阿贝尔、雅可比、黎曼那样具有直觉的闪光，他不信任直觉，而是致力于使数学推理建立在牢固的基础上。柯西在几何基础上建立理论，魏尔斯特拉斯转而构造实数理论，他从老师古德曼(Christof Gutermann,1798-1852)学到了幂级数的技巧，在幂级数的基础上建立起解析函数的理论和解析开拓的方法。这项工作完成于1840s，不过当时并未发表。他在函数论多个方面做出贡献，并研究了天体学中的n体问题和光的理论。

魏尔斯特拉斯起初发现成果时发表得不多，很难判断他的发现时间，许多研究工作是通过他在柏林大学的讲座为人所知。1890s出版著作时，他不关心成果的优先权，因为很多结果已被他人发表，他更关心如何阐明他发展函数论的方法。

我们已知用幂级数表示已用解析形式给出的复函数，魏尔斯特拉斯解决了如下问题：从已知的一个限定区域内定义的函数幂级数出发，根据幂级数有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数。一个在以a为圆心以r为半径的圆C内收敛的z-a的幂级数代表一个函数，它在圆C内的每一个z值上解析。在圆内选择一点b并利用原始级数给出的函数及其各阶导数的值，可得到z-b的新幂级数，它的收敛圆C‘与第一个圆交迭，在两圆公共点处，两个级数给出函数的同一个值。对C'处在C外部的点，第二个级数的值是第一个级数定义的函数的一个解析开拓。从C'接连开拓到其它圆，就得到f(z)的全部解析开拓，完全的f(z)就是在所有圆中、所有点上的值的集合，每个级数称为函数的一个元素。

在增加收敛圆以拓展函数定义域的过程中，一个新圆可能覆盖非相邻圆的一部分，且新圆和相邻圆的公共部分中函数的值可能不一致，此时函数是多值的。

这个过程中可能出现的奇点（极点或支点）必定位于幂级数收敛圆的边界上，如果一个奇点的阶是有穷的，那么魏尔斯特拉斯将其包含在函数中，在该点上(z-z0)^(1/n)的幂级数展开式只能有有穷个负指数的项，为了得到z=∞附近的展开式，魏尔斯特拉斯使用1/z的级数，如果函数元素在全平面收敛，魏尔斯特拉斯称之为整函数，如果不是一个有理整函数，即不是一个多项式，那么它在∞处有一个本性奇点（如sin z）

他还给出幂级数的一个例子，它的收敛圆是它的自然边界，即圆是奇点曲线，并给出了一个解析表达式的例子，在平面的不同部分代表不同的解析函数。

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这节啥也没看懂，总之第一句话能看出来，解析式表达的函数≠解析函数吧。。。