考研：数学二例题--0/0型极限

前言

本文只是例题，建议先参考具体如何做这类型例题。请到主文章中参考：https://blog.csdn.net/grd_java/article/details/132246630

$\frac{0}{0}$型

例题

1. 例1：$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xsin{x}^2-2(1-cosx)sinx}{x^4}\end{array}$

洛必达太麻烦，等价代换发现是+/-操作，而且=0，这里用泰勒展开（注意，下面公式的x可以换成任意值，比如$x^2、2x$），注意展开后，分子次数不要比分母大

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+O(x^{2n+1})$
$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+\frac{-1^n{x}^{2n}}{(2n)!}+O(x^{2n})$

$原式=\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xsin{x}^2-2sinx+2sinxcosx}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xsin{x}^2-2sinx+sin(2x)}{x^4}(由二倍角公式得)\\ \end{array}$
$\begin{array}{r}\stackrel{泰勒展开}{}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot (x^2+O(x^2))-2(x-\frac{x^3}{3!}+O(x^3))+(2x-\frac{(2x{)}^3}{3!}+O((2x{)}^3))}{x^4}\\ \end{array}$
$\begin{array}{r}\stackrel{合并过程中，忽略O(),最后末尾+分母的高价无穷小即可}{}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3-2x+\frac{x^3}{3}+2x-\frac{4x^3}{3}+O(x^4)}{x^4}\\ \end{array}$
$\begin{array}{r}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{O(x^4)}{x^4}=0\\ \end{array}$

2. 例2：$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\sqrt{cosx})(1-\sqrt[3]{cosx})}{si{n}^2{x}^2}\end{array}$

方法1：等价代换$1-co{s}^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2,sin\alpha \sim \alpha$
$\begin{array}{r}原式=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{\frac{1}{2}}{2}{x}^2)(\frac{\frac{1}{3}}{2}{x}^2)}{sin{x}^2\cdot sin{x}^2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{r}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{24}{x}^4}{x^2\cdot x^2}=\frac{1}{24}\\ \end{array}$

方法2：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f^{{}^{\prime }}(\xi )\cdot (b-a)$
$\{\begin{array}{l}\\ 1、思路：想办法凑出1-(cosx{)}^{\alpha }来用拉格朗日中值定理\\ 2、设：f(\xi )={\xi }^{\alpha },有f^{{}^{\prime }}(\xi )=\alpha \cdot {\xi }^{\alpha -1}\\ 则f(1)-f(cosx)=1-(cosx{)}^{\alpha }=\alpha \cdot {\xi }^{\alpha -1}\cdot (1-cosx),cosx<\xi <1.\\ 3、又因为当x0,则cosx无限趋近于1，根据夹逼准则，\xi 无限趋近于1\\ 则1-(cosx{)}^{\alpha }=\alpha \cdot (1-cosx)。\\ 4、因此：原式=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}(1-cosx)\cdot \frac{1}{3}(1-cosx)}{x^4}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}{x}^2)\cdot \frac{1}{3}(\frac{1}{2}{x}^2)}{x^4}=\frac{1}{24}\\ \end{array}$

3. 例3：$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\sqrt{cosx})(1-\sqrt[3]{cosx})...(1-\sqrt[n]{cosx})}{(1-cosx{)}^{n-1}},分子co{s}^{\frac{1}{2}}x....co{s}^{\frac{1}{n}}次,所以共n-2+1=n-1项\\ \end{array}$

方法1：等价代换$1-co{s}^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$
$\{\begin{array}{l}原式=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{1}{4}{x}^2)(\frac{1}{6}{x}^2)...(\frac{1}{2n}{x}^2)}{(\frac{1}{2}{x}^2{)}^{n-1}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x^2{)}^{n-1}(\frac{1}{4})(\frac{1}{6})...(\frac{1}{2n})}{(\frac{1}{2}{)}^{n-1}(x^2{)}^{n-1}}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{1}{2}{)}^{n-1}(\frac{1}{2})(\frac{1}{3})...(\frac{1}{n})}{(\frac{1}{2}{)}^{n-1}}=\frac{1}{n!}\\ \end{array}$
方法2：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f^{{}^{\prime }}(\xi )\cdot (b-a)$
$\{\begin{array}{l}\\ 1、设：f(\xi )={\xi }^{\alpha },有f^{{}^{\prime }}(\xi )=\alpha \cdot {\xi }^{\alpha -1}\\ 则f(1)-f(cosx)=1-(cosx{)}^{\alpha }=\alpha \cdot {\xi }^{\alpha -1}\cdot (1-cosx),cosx<\xi <1.\\ 2、又因为当x0,则cosx无限趋近于1，根据夹逼准则，\xi 无限趋近于1\\ 则1-(cosx{)}^{\alpha }=\alpha \cdot (1-cosx)。\\ 3、因此：原式=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\frac{1}{2}(1-cosx)][\frac{1}{3}(1-cosx)]...[\frac{1}{n}(1-cosx)]}{(1-cosx{)}^{n-1}}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-cosx{)}^{n-1}(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{n})}{(1-cosx{)}^{n-1}}=\frac{1}{n!}\\ \end{array}$