【C++】位运算实现加减乘除

近日复习剑指offer，看到了当时写第65题题实现了位运算的加减乘除法，特此记录

1.加法

• 位的异或运算跟求"和"的结果一致：
  异或 1^1=0 1^0=1 0^0=0
  求和 1+1=0 1+0=1 0+0=0

• 位的与运算后<<1的结果跟求"进位"的结果一致：
  位与 1&1=1 1&0=0 0&0=0
  进位 1+1=1 1+0=0 0+0=0

• 而二进制加法分为三步：（如1001+1011，9+11=20）
  ① 各位相加但不计进位，得到00010；（该结果即为1001与1011的^结果）
  ② 记下所被略去的进位，得到10010；（该结果即为1001与1011的&结果<<1后的结果）
  ③ 将①与②相加，得到10100，即为20
  但是由于无法使用加法，所以最后的两个10两者无法直接相加得到100，需要通过循环重复①与②步骤来实现加法
  （循环终止的条件与递归的终止条件相同，都是当②计算所得到的进位为0即停止计算）

• 所以，可以将异或的值作为当前的值s，而当进位c存在时，将其前移一位，用于和之后的s继续进行^与&运算

	//1.两种加法运算，运行时间：3ms，占用内存：468k
	int Add(int num1, int num2)
	{
		int sum, carry;
		while (num2 != 0)
		{
			//sum是和，而carry是进位，sum表示计算的①，carry表示计算的②，不断地进行①与②，直到②为0
			sum = num1^num2;
			carry = (num1&num2) << 1;
			num1 = sum;
			num2 = carry;
		}
		return num1;
	}

	int Add2(int num1, int num2)
	{
		if (num2 == 0)
			return num1;
		int sum = num1^num2;
		int carry = (num1&num2) << 1;
		Add2(sum, carry);
	}

2.减法

• 减法没啥好说的，注意负数是正数的取反后+1

	//2.一种减法运算
	int Negtive(int num1, int num2)
	{
		//减法即num1+(-num2),注意计算机用补码存的，所以-num2 = ~(num2 - 1) = ~num2 + 1 = Add(~num2,1)
		return Add(num1, Add(~num2, 1));
	}

3.乘法

• 首先将乘数与被乘数弄为正数，最后再添加符号，而实现过程按照小学乘法算法实施

//3.一种乘法运算（首先将乘数与被乘数弄为正数，最后再添加符号，而实现过程按照小学乘法算法实施）
	int Multiply(int num1, int num2)
	{
		if (num2 == 0 || num1 == 0)
			return 0;
		//先将被乘数与乘数全部弄为正数
		int multiplicand = (num1 < 0) ? (Add(~num1, 1)) : num1;
		int multiplier = (num2 < 0) ? (Add(~num2, 1)) : num2;
		int multip = 0;
		while (multiplier > 0)
		{
			//如果最后一位是1，则进行加运算
			if (multiplier & 0x1 == 1)
				multip = Add(multip, multiplicand);
			//无论是否进行了加运算，都将被乘数左移一位，乘数右移一位
			multiplicand <<= 1;
			multiplier >>= 1;
		}
		//恢复符号，num1^num2为负值时表示两者异号，相乘必为负值
		//（注意<优先级高于^，记得加括号）
		if ((num1^num2) < 0)
			multip = Add(~multip, 1);
		return multip;
	}

4.除法

• 计算机是一个二元的世界，所有的int型数据都可以用[2⁰, 21, …, 2³¹]这样一组基来表示（int型最高31位）。不难想到用除数的2³¹, 2³⁰, …, 2², 2¹, 2⁰倍尝试去减被除数，
  如果减得动，则把相应的倍数加到商中；如果减不动，则依次尝试更小的倍数。这样就可以快速逼近最终的结果。

• 在此特别提醒，对于C++的除法来说，其原则在于使商尽量去乘除数后去匹配被除数（其根两数的同符号与异符号时均有不同）

//4.一种除法运算
	int Divide(int num1, int num2)
	{
		if (num1 == 0)
			return 0;
		if (num2 == 0)
			return 0;
			//throw new exception("error");
		//先将被除数与除数全部弄为正数
		int dividend = (num1 < 0) ? (Add(~num1, 1)) : num1;
		int divider = (num2 < 0) ? (Add(~num2, 1)) : num2;
		int quotient = 0;	//商
		int remainder = 0;	//余数
		//遍历31到0，实现除数的快速运算
		for (int i = 31; i >= 0; i--)
		{
			//注意这里的dividend与divider比较，是将dividend右移i位而不是将divider左移i位
			//目的在于避免divider左移i位后有些数据丢帧
			if ((dividend >> i) >= divider)
			{
				//如果(dividend >> i) >= divider，表示dividend除divide的值大于1<
				//此时表示从dividend中减去了1<
				quotient = Add(quotient, 1 << i);
				dividend = Negtive(dividend, divider << i);
			}
		}
		//恢复商符号，符号相反时，商必为负数，否则为正数
		//恢复余数符号，注意余数是根据最后被减没了的dividend实现的，而其符号根据被除数与除数的符号性相匹配
		if ((num1^num2) < 0)
		{
			quotient = Add(~quotient, 1);
			if (num1 < 0)
				remainder = Add(~dividend, 1);
			else
				remainder = dividend;
		}
		else
			//当符号相同时，根据任一数的符号即可确定余数符号
			remainder = (num1 < 0) ? (Add(~dividend, 1)) : (dividend);
		cout << quotient << endl;
		cout << remainder << endl;
		return quotient;
	}