2023NOIP A层联测10-最小生成树

在图论中，无向图 $G$ 的生成树，是具有 $G$ 的全部顶点，但边数最少的连通子图。

而 $G$ 的最小生成树，即为 $G$ 中所有的生成树中，所有边的边权和最小的一棵生成树。

给定一个数组 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$。构造一张 $n$ 个点的完全图。对于任意 $1\le i<j\le n$，图中有一条边权为 $x_j-x_i$ 的无向边。

你想要求出这张无向图的最小生成树的边权之和。

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求最小生成树的常用算法有 $\text{Kruskal,Prim}$。$\text{Kruskal}$ 的时间复杂度是与边数相关的，而此题边数很多，所以考虑 $\text{Prim}$ 的思想。

维护两个点集：已匹配点集个未匹配点集。每次找出两个点集的最短边，将边的未匹配点集点加入已匹配点集。

对于此题，考虑使用线段树维护两个点集的最短边权值。

$max{0}_{rt}$ 表示 $rt$ 所代表的区间中，未匹配的点中 $x$ 值最大的。
$max{1}_{rt}$ 表示 $rt$ 所代表的区间中，已匹配的点中 $x$ 值最大的。
$min{0}_{rt}$ 表示 $rt$ 所代表的区间中，未匹配的点中 $x$ 值最小的。
$min{1}_{rt}$ 表示 $rt$ 所代表的区间中，已匹配的点中 $x$ 值最小的。
$an{s}_{rt}$ 表示 $rt$ 所代表的区间中的两个点之间的最小边权，其中两个点不能是一个点集。

在 $pushup$ 过程中，$max0,max1,min0,min1$ 只需简单地从儿子区间更新。

$ans$ 先从儿子区间更新，再考虑两个分居两个区间的点之间的边权，容易想到要边权最小，一定是选右边最小的和左边最大的（注意两点要不同点集），$ans$ 用其更新即可。

每次找到最短边后，将边的未匹配点集点 $x$ 加入已匹配点集，实现可以把 $x$ 在线段树单点交换 $max0,max1$ 和 $min0,min1$。（相当于将这个点的属性有未匹配变为匹配了）

时间复杂度 $O(n\log n)$

具体实现参见代码

#include
using namespace std;
const int N=3e5+1,INF=1e9;
int n,a[N];
long long Ans;
struct node
{
    int v,id;
    node(){}
    node(int a,int b){v=a,id=b;}
    bool operator<(const node &a)const{
        return v<a.v;
    }
}max0[N<<2],max1[N<<2],min0[N<<2],min1[N<<2],ans[N<<2];
void pushup(int rt)
{
    max0[rt]=max(max0[rt<<1],max0[rt<<1|1]);
    max1[rt]=max(max1[rt<<1],max1[rt<<1|1]);
    min0[rt]=min(min0[rt<<1],min0[rt<<1|1]);
    min1[rt]=min(min1[rt<<1],min1[rt<<1|1]);
    ans[rt]=min({ans[rt<<1],ans[rt<<1|1],min(node(min1[rt<<1|1].v-max0[rt<<1].v,max0[rt<<1].id),
    node(min0[rt<<1|1].v-max1[rt<<1].v,min0[rt<<1|1].id))});
}
void build(int rt,int l,int r)
{
    if(l==r){
        max0[rt]=min0[rt]=node(a[l],l);
        max1[rt]=node(-INF,-1);
        min1[rt]=node(INF,-1);
        ans[rt]=node(INF,-1);
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(rt<<1,l,mid);
    build(rt<<1|1,mid+1,r);
    pushup(rt);
}
void update(int rt,int l,int r,int x)
{
    if(l==r){
        swap(max0[rt],max1[rt]),swap(min0[rt],min1[rt]);
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) update(rt<<1,l,mid,x);
    else update(rt<<1|1,mid+1,r,x);
    pushup(rt);
}
int main()
{
    freopen("mst.in","r",stdin);
    freopen("mst.out","w",stdout);
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    build(1,1,n);
    update(1,1,n,1);
    for(int i=1;i<n;i++){
        Ans+=ans[1].v;
        update(1,1,n,ans[1].id);
    }
    cout<<Ans;
}