第二次数学危机彻底解决之后，再经过近200年的发展，科学家们普遍认为系统而严密的“科学大厦”已经基本建立。
然而，人们没有注意到的是，作为“现代数学”基础的“集合论”还隐藏着很多的问题没有解决。
集合论是“现代数学”的基础，几乎每一个分支都是建立在“集合论”的基础之上的。
“集合论”的诞生之初，在“分析的严格化”思想的指导下，彻底地解决了由“微积分”引发的第二次数学危机。
在那一次危机中，“集合论”成为了“近代数学大厦”的基础。
但是，“集合论”和很多新生事物一样，在诞生之初也是不完善的，不断的有人指出了它的缺陷，就连康托尔自己也被其中的一些悖论所困扰。
这些无法解决的问题不断地积累，终于在“罗素悖论”被提出之后彻底爆发了。
1907年，数学家罗素针对“集合论”的不严谨性提出了一个著名的“罗素悖论”，可以简单地描述如下：
“设有这样一个集合：“A={x|x ∉ A}”。试问：A∈A是否成立？
①如A∈A成立，那么就不符合x∉A，有A∉A；
②如果A∉A，则符合x∉A，有A∈A。”
这个悖论被形象地演化成了多个故事，其中最著名的一个故事叫做“理发师悖论”，如下：
理发师有一天心血来潮，在店门口写了一个有趣的公告：我只给所有“不给自己刮胡子”的人刮胡子。当他发现自己的胡子有点长，准备给自己刮胡子的时候，忽然有点犯难了：我该不该给自己刮胡子呢？如果我给自己刮胡子，那就违背了自己只给“不为自己刮胡子的人”刮胡子这一条，但是如果不给自己刮胡子，又违反了应该给“不给自己刮胡子的人”刮胡子这一条。
这个看似有点无厘头的小故事所蕴含的“数学悖论”，揭示出了“集合论”所存在的严重问题。
“集合论”作为近代数学大厦的基础，经过长期的发展，已经渗透到了几乎所有的数学分支。
如果“集合论”有问题，就会动摇整个“数学大厦”。
“罗素悖论”的提出，对“近代数学”的整个基本结构的有效性提出了全面质疑。
而这个质疑是集中在“无穷”这个概念上的。
早在“康尔托”建立“集合论”之初，大数学家高斯和柯西都曾坚决反对将“无穷”这个概念引入数学。
幸而，“无穷”概念得到了数学家“波尔查诺”的支持。
“波尔查诺”是一位探索“无穷”概念的伟大先驱，是第一个为了明确“实在无穷集合”理论而做出不懈努力的数学家，曾为康尔托建立“集合论”奠定了“哲学”基础。
如今，问题恰恰出现在了“无穷集合”这个概念上。
数学家们几乎想把“无穷集合”这个概念丢弃，但是又发现几乎所有的数学分支都是建立在“无穷集合”基础上的。
一旦丢弃了“无穷集合”，那么“近代数学”几乎寸步难行，所有涉及到“无穷集合”的数学分支都将崩溃，“数论”中的许多问题只有再退回到用“解析方法”解决的时代，“数论”的发展会全面陷入停滞。
所有的数学家都积极行动了起来，纷纷提出了自己的解决方案。
1908年，“策梅罗”创立了第一个“公理化集合论体系”，后来在其它数学家的共同努力下进一步完善，称为ZF系统，弥补了“康托尔朴素集合论”的缺陷。
除了“ZF系统”外，还有好几种公理系统，如“诺伊曼”等人提出的“NBG系统”等。
这些“公理化系统”诞生之后，成功地排除了集合论中出现的悖论，完美地解决了第三次数学危机。
经过这次数学危机的磨炼，数学大厦的基础得到了前所未有的巩固，使现代数学迈着更加稳健的步伐，引领着人类科技一步一个脚印地走向更加辉煌的明天。
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